Question

10．钓鱼岛是我国的领土，决不允许别国侵占．近期，为提高警惕保卫祖国，我国海军为此进行了登陆演练．如图所示，假设一艘战舰因吨位巨大，只能停锚在离海岸登陆点s=1.1km处．登陆队员需要从较高的军舰甲板上，利用绳索下滑到登陆快艇上再进行登陆接近目标，若绳索两端固定好后，绳索可以近似看成与竖直方向的夹角θ=37°的斜面．队员甲由静止开始匀加速滑到某最大速度，再以大小相等的加速度匀减速滑至快艇，速度刚好为零．已知军舰甲板到快艇的竖直高度H=20m，在队员甲开始下滑时，队员乙在甲板上同时开始向快艇平抛救生圈，第一个救生圈刚落到快艇，紧接着以相同的初速度抛第二个，第二个救生圈刚好与甲队员同时抵达快艇．重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．（人、救生圈和快艇均可视为质点，忽略空气阻力）．问：
（1）救生圈被抛出时的初速度v₀是多大？
（2）队员甲在何处速度最大？最大速度v_m是多大？
（3）若快艇额定功率为P=5kW，载人后连同装备总质量为M=100kg，从静止开始以额定功率向登陆点加速靠近，离登陆点s₁=0.1km时刚好能达到最大速度v_m′=10m/s，然后减速靠岸，快艇在水中受到的阻力恒定，求快艇加速运动的时间t′．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律与几何知识，可得高初速度；
（2）由几何关系可得绳索长度，根据运动的对称性分析得出速度最大处，由位移与平均速度关系即可求解；
（3）由动能定理与达到最大速度时功率与阻力的关系，可联合求得结果．

解答 解：（1）设救生圈做平抛运动的时间为t，
有$H=\frac{1}{2}g{t^2}$
Htanθ=v₀t
解得：v₀=7.5m/s，t=2s
（2）由几何关系，得绳索长为：$L=\frac{H}{cosθ}=25$m  
设人下滑时间为t₀，由题意知：t₀=2tt₀=4s  
因加速过程与减速过程的加速度大小相等，所以甲在绳索中点处速度最大．
由$\frac{1}{2}{v_m}\frac{t_0}{2}×2=L$
得：${v_m}=\frac{L}{t}=12.5$m/s
（3）加速过程有：
$pt'-{F_f}（s-{s_1}）=\frac{1}{2}Mv'_m^2$
加速到匀速时速度为：${v_m}=\frac{p}{F_f}$
解得：t′=101s  
答：（1）救生圈被抛出时的初速度v₀是7.5m/s；
（2）队员甲甲在绳索中点处速度最大，最大速度v_m是12.5m/s；
（3）快艇加速运动的时间t′为101s．

点评 考查如何处理平抛运动的常规方法，及运动学公式，并涉及到动能定理的理解．注意甲在何处速度达到最大是本题的关键之处．