如图4-22所示.一个重为200N的物体.放在倾角为20°的粗糙斜面上保持静止.已知物体与斜面间的动摩擦因数为0.4.求:(附:你可能需要用到的数据sin20°=0.34 cos20°=0.94 tAn20°=0.36 g=10m/s2) (1)物体的重力对斜面的压力分量和沿斜面的下滑力分量的大小, (2)比较此时物体的重力和物体对斜面压力的大小.并根据你的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图4-22所示，一个重为200N的物体，放在倾角为20°的粗糙斜面上保持静止。已知物体与斜面间的动摩擦因数为0.4。求：（附：你可能需要用到的数据sin20°=0.34 cos20°=0.94 tAn20°=0.36 g=10m/s²）

（1）物体的重力对斜面的压力分量和沿斜面的下滑力分量的大小；

（2）比较此时物体的重力和物体对斜面压力的大小，并根据你的理解，判断此时的物体是否处于失重状态？简要说出判断的依据；

（3）若假设斜面对物体的摩擦力突然消失，变成光滑的斜面，请求这种假想情况下物体的加速度。

解：（1）斜面上物体的重力产生的两个作用效果：

垂直斜面的压力G₁和沿斜面向下的下滑力G₂，根据重力的分解示意图-3，可得：

G₁=Gcos20°=200×0.94N=188 N

G₂=Gsin20°=200×0.34N= 68N

（2）因为失重是由于物体在竖直方向上具有向下的加速度而形成的，使支持面对物体的支持力小于物体实际的重力的受力情况。由于物体此时处于静止状态，所以此时的物体不属于处于失重状态。

因为物体对斜面压力的大小G₁=Gcos20°小于物体重力的大小G，即此时的测力计得到的测量值小于物体实际的重力，所以此时的物体处于失重状态。（航天员在水中的模拟失重训练，靠浮力抵消重力，而不是靠加速运动来模拟失重）

（3）若斜面的摩擦力突然消失，此时物体只受到重力和斜面的支持力作用，合力方向沿斜面向下，受力如图示：合力F=G₂= Gsin20°= mgsin20°=mA

A =gsin20°=10×0.34m/s²= 3.4m/s²

或：合力F=G₂= Gsin20°= mA，物体的质量为

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．
（2）某实验小组装置探究功与速度变化的关系，小车在橡皮筋的作用下弹出后，沿木板滑行．打点计时器工作频率为50Hz．
①实验中木板略微倾斜，这样做

；
A．是为了使释放小车后，小车能匀加速下滑
B．是为了增大小车下滑的加速度
C．可使得橡皮筋做的功等于合力对小车做的功
D．可使得橡皮筋松弛后小车做匀速运动
②实验中先后用同样的橡皮筋1条、2条、3条…，并起来挂在小车的前端进行多次实验，每次都要把小车拉到同一位置再释放小车．把第1次只挂1条橡皮筋时橡皮筋对小车做的功记为W₁，第二次挂2条橡皮筋时橡皮筋对小车做的功为2W₁，…；橡皮筋对小车做功后而使小车获得的速度可由打点计时器打出的纸带测出．根据第四次的纸带（如图所2示）求得小车获得的速度为

m/s．
③若根据多次测量数据画出的W-v草图如图3所示，根据图线形状，可知对W与v的关系做出的猜想肯定不正确的是

．
A．W∝

B．W∝

C．W∝v² D．W∝v³
④如果W∝v²的猜想是正确的，则画出的W-v²图象应是：

过原点的一条直线

⑤在本实验中你认为影响实验效果的可能原因是

橡皮筋的规格不完全相同

．（只要回答出一种原因即可）
（3）如图4，①下述关于用多用表欧姆档测电阻的说法中正确的是

．
（A）测量电阻时如果指针偏转过大，应将选择开关S拨至倍率较小的档位，重新调零后测量
（B）测量电阻时，如果红、黑表笔分别插在负、正插孔，则会影响测量结果
（C）测量电路中的某个电阻，应该把该电阻与电路断开
（D）测量阻值不同的电阻时都必须重新调零
②一只标有“18V，10W”的灯泡，正常工作时的电阻为

32.4

Ω；若用多用电表的欧姆档来测量这只灯泡的电阻，则测出的阻值应

小于

填“大于”、“等于”或“小于”）正常工作时的电阻．
（4）读出多组电阻箱的示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了如图5所示的

图线．由此可求得电源电动势E和电源内阻r，其中E=

Ⅰ．气垫导轨工作时，空气从导轨表面的小孔喷出，在导轨表面和滑块内表面之间形成一层薄薄的空气层，使滑块不与导轨表面直接接触，故滑块运动时受到的阻力大大减小，可以忽略不计．为了探究做功与物体动能之间的关系，在气垫导轨上放置一带有遮光片的滑块，滑块的一端与轻弹簧相接，弹簧另一端固定在气垫导轨的一端，将一光电门P固定在气垫导轨底座上适当位置（如图1），使弹簧处于自然状态时，滑块上的遮光片刚好位于光电门的挡光位置，与光电门相连的光电计时器可记录遮光片通过光电门时的挡光时间．实验步骤如下：

①用游标卡尺测量遮光片的宽度d；
②在气垫导轨上适当位置标记一点A（图中未标出，AP间距离远大于d），将滑块从A点由静止释放．由光电计时器读出滑块第一次通过光电门时遮光片的挡光时间t；
③利用所测数据求出滑块第一次通过光电门时的速度V；
④更换劲度系数不同而自然长度相同的弹簧重复实验步骤②③，记录弹簧劲度系数及相应的速度V，如下表所示：

弹簧劲度系数	k	2k	3k	4k	5k	6k
V （m/s）	0.71	1.00	1.22	1.41	1.58	1.73
V² （m²/s²）	0.50	1.00	1.49	1.99	2.49	2.99
V³ （m³/s³）	0.36	1.00	1.82	2.80	3.94	5.18

（1）测量遮光片的宽度时游标卡尺读数如图2所示，读得d=

m；
（2）用测量的物理量表示遮光片通过光电门时滑块的速度的表达式V=

；
（3）已知滑块从A点运动到光电门P处的过程中，弹簧对滑块做的功与弹簧的劲度系数成正比，根据表中记录的数据，可得出合力对滑块做的功W与滑块通过光电门时的速度V的关系是

．
Ⅱ．现已离不开电视、手机等电子产品，但这些产品生产过程中会产生含多种重金属离子的废水，这些废水是否达标也引起了人们的关注．某同学想测出学校附近一工厂排出废水的电阻率，以判断废水是否达到排放标准（一般工业废水电阻率的达标值为ρ≥200Ω?m）．图甲为该同学所用盛水容器，其左、右两侧面为带有接线柱的金属薄板（电阻极小），其余四面由绝缘材料制成，容器内部长a=40cm，宽b=20cm，高c=10cm．他将水样注满容器后，进行以下操作：

（1）他先后用多用电表欧姆档的“×1k”、“×100”两个档位粗测水样的电阻值时，表盘上指针如图乙中所示，则所测水样的电阻约为

Ω．
（2）他从实验室中找到如下实验器材更精确地测量所取水样的电阻：
A．电流表（量程5mA，电阻R_A=800Ω）
B．电压表（量程15V，电阻R_V约为10.0kΩ）
C．滑动变阻器（0～20Ω，额定电流1A）
D．电源（12V，内阻约10Ω）
E．开关一只、导线若干
请用笔线代替导线帮他在图丙中完成电路连接．
（3）正确连接电路后，这位同学闭合开关，测得一组U、I数据；再调节滑动变阻器，重复上述测量得出一系列数据如下表所示，请你在图丁的坐标系中作出U-I关系图线．

U/V	2.0	3.8	6.8	8.0	10.2	11.6
I/mA	0.73	1.36	2.20	2.89	3.66	4.15

（4）由以上测量数据可以求出待测水样的电阻率为

Ω?m．据此可知，所测水样在电阻率这一指标上

（选填“达标”或“不达标”）．

（1）建筑、桥梁工程中所用的金属材料（如钢筋钢梁等）在外力作用下会伸长，其伸长量不仅与和拉力的大小有关，还和金属材料的横截面积有关．人们发现对同一种金属，其所受的拉力与其横截面积的比值跟金属材料的伸长量与原长的比值的比是一个常数，这个常数叫做杨氏模量．用E表示，即：E=

；某同学为探究其是否正确，根据下面提供的器材：不同粗细不同长度的同种金属丝；不同质量的重物；螺旋测微器；游标卡尺；米尺；天平；固定装置等．设计的实验如图1所示．
该同学取一段金属丝水平固定在固定装置上，将一重物挂在金属丝的中点，其中点发生了一个微小下移h．用螺旋测微器测得金属丝的直径为D；用游标卡尺测得微小下移量为h；用米尺测得金属丝的原长为2L；用天平测出重物的质量m（不超量程）．

①在一次测量中：
a．螺旋测微器如图2甲所示，其示数为

3.853

mm；
b．游标卡尺如图2乙所示，其示数为

11.14

mm；

②用以上测量量的字母表示该金属的杨氏模量的表达式为：E=

．
（2）在探究“牛顿第二定律”时，某小组设计双车位移比较法来探究加速度与力的关系．实验装置如图3所示，将轨道分上下双层排列，两小车后的刹车线穿过尾端固定板，由安装在后面的刹车系统同时进行控制（未画出刹车系统）．通过改变砝码盘中的砝码来改变拉力大小．通过比较两小车的位移来比较两小车的加速度大小，是因为位移与加速度的关系式为

at2；

．已知两车质量均为200g，实验数据如表中所示：

实验次数	小车	拉力F/N	位移s/cm	拉力比F_甲/F_乙	位移比s_甲/s_乙
1	甲	0.1	22.3	0.50	0.51
1	乙	0.2	43.5	0.50	0.51
2	甲	0.2	29.0	0.67	0.67
2	乙	0.3	43.0	0.67	0.67
3	甲	0.3	41.0	0.75	0.74
3	乙	0.4	55.4	0.75	0.74

分析表中数据可得到结论：

在实验误差范围内当小车质量保持不变时，由于s∝F说明a∝F；

．
该装置中的刹车系统的作用是

控制两车同时运动和同时停止；

．
为了减小实验的系统误差，你认为还可以进行哪些方面的改进？（只需提出一个建议即可）

调整两木板平衡摩擦力（或使砝码盘和砝码的总质量远小于小车的质量等）．

．

在平直公路上,汽车由静止开始作匀加速运动，当速度达到某一值时，立即关闭发动机后滑行至停止，其v-t图像如图5—22所示.汽车牵引力为F，运动过程中所受的摩擦阻力恒为f，全过程中牵引力所做的功为W₁，克服摩擦阻力所做的功为W₂，则下列关系中正确的是( ).【2】

(A)F:f=1:3 (B)F:f=4:1

(C)W₁:W₂=1:1 (D)W₁:W₂=1:3

第八部分静电场

第一讲基本知识介绍

在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。

如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。

一、电场强度

1、实验定律

a、库仑定律

内容；

条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /ε_r）。只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。

b、电荷守恒定律

c、叠加原理

2、电场强度

a、电场强度的定义

电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。

b、不同电场中场强的计算

决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出——

⑴点电荷：E = k

结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如——

⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P：E = ，其中r和R的意义见图7-1。

⑶均匀带电球壳

内部：E_内 = 0

外部：E_外 = k ，其中r指考察点到球心的距离

如果球壳是有厚度的的（内径R₁ 、外径R₂），在壳体中（R₁＜r＜R₂）：

E = ，其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕。

⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E =

⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ

二、电势

1、电势：把一电荷从P点移到参考点P₀时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值，即

U =

参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。

和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W则为电荷的电势能。

2、典型电场的电势

a、点电荷

以无穷远为参考点，U = k

b、均匀带电球壳

以无穷远为参考点，U_外 = k ，U_内 = k

3、电势的叠加

由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。

4、电场力对电荷做功

W_AB = q（U_A － U_B）= qU_AB

三、静电场中的导体

静电感应→静电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽

1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——

a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面。

b、导体是等势体，表面是等势面。

c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。

2、静电屏蔽

导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。

四、电容

1、电容器

孤立导体电容器→一般电容器

2、电容

a、定义式 C =

b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容

⑴平行板电容器 C = = ，其中ε为绝对介电常数（真空中ε₀ = ，其它介质中ε= ），ε_r则为相对介电常数，ε_r = 。

⑵柱形电容器：C =

⑶球形电容器：C =

3、电容器的连接

a、串联 = +++ … +

b、并联 C = C₁ + C₂ + C₃ + … + C_n

4、电容器的能量

用图7-3表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E ，所以

E = q₀U₀ = C =

电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。

对平行板电容器 E_总 = E²

认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能 w = E² 。而且，这以结论适用于非匀强电场。

五、电介质的极化

1、电介质的极化

a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H₂ 、O₂ 、N₂和CO₂），后者则反之（如气态的H₂O 、SO₂和液态的水硝基笨）

b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4所示。

2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷

a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中，电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质，导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已。

b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。

第二讲重要模型与专题

一、场强和电场力

【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。

【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。

如图7-5所示，在球壳内取一点P ，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS₁和ΔS₂ ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为

ΔE₁ = k

ΔE₂ = k

为了弄清ΔE₁和ΔE₂的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然

= ΔΩ =

所以 ΔE₁ = k ，ΔE₂ = k ，即：ΔE₁ = ΔE₂ ，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。

同理，其它各个相对的面元ΔS₃和ΔS₄ 、ΔS₅和ΔS₆ … 激发的合场强均为零。原命题得证。

【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS ，它在球心O点激发的场强大小为

ΔE = k ，方向由P指向O点。

无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ = Σ = 0 ，最后的ΣE = ΣE_z ，所以先求

ΔE_z = ΔEcosθ= k ，而且ΔScosθ为面元在xoy平面的投影，设为ΔS′

所以 ΣE_z = ΣΔS′

而 ΣΔS′= πR²

【答案】E = kπσ ，方向垂直边界线所在的平面。

〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？

〖推荐解法〗将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为 kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE_x …

〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。

【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，= a ，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。

【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。

将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P ，设 = r₁ ， = r₂ ，则大球激发的场强为

E₁ = k = kρπr₁ ，方向由O指向P

“小球”激发的场强为

E₂ = k = kρπr₂ ，方向由P指向O′

E₁和E₂的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE₁ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。

【答案】恒为kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强电场。

〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？

〖解说〗上面解法的按部就班应用…

〖答〗πkρq〔?〕。

二、电势、电量与电场力的功

【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势U_P。

【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势

ΔU = k

环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。

【答案】U_P =

〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则U_P的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？

〖答〗U_P = ；结论不会改变。

〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？

〖解说〗（1）球心电势的求解从略；

球内任一点的求解参看图7-5

ΔU₁ = k= k·= kσΔΩ

ΔU₂ = kσΔΩ

它们代数叠加成 ΔU = ΔU₁ + ΔU₂ = kσΔΩ

而 r₁ + r₂ = 2Rcosα

所以 ΔU = 2RkσΔΩ

所有面元形成电势的叠加 ΣU = 2RkσΣΔΩ

注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π ，所以——

ΣU = 4πRkσ= k

（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；

球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。

〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为k ；（2）球心电势仍为k ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。

【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R₁和R₂ ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。

【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。

根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…

【答案】U_o = k － k + k 。

〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为R_A和R_B ，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。

〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。

此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有

U_O = k + k + k = 0

Q_B应指B球壳上的净电荷量，故 Q_B = 0

所以 Q_A = －q

☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）

基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——

U_B = k + k

〖答〗（1）Q_A = －q ；（2）U_B = k(1－) 。

【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为U_A和U_B 。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？

【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。

每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U₁）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U₂）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U₁）。

所以，取走ab前 3U₁ = U_A

2U₂ + U₁ = U_B

取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以

U_A′= 2U₁

U_B′= U₁ + U₂

【答案】U_A′= U_A ；U_B′= U_A + U_B 。

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U₁ 、U₂ 、U₃和U₄ ，则盒子中心点O的电势U等于多少？

〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——

我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U₁ + U₂ + U₃ + U₄），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为

U′= U₁ + U₂ + U₃ + U₄

最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U = U′

〖答〗U = （U₁ + U₂ + U₃ + U₄）。

☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）

〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为U_P ，试求Q点的电势U_Q 。

〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。

从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。

而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。

考查P点，U_P = k + U_半球面

其中 U_半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U_半球面= －U_Q

以上的两个关系已经足以解题了。

〖答〗U_Q = k － U_P 。

【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L ，圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？

【模型分析】电势叠加和关系W_AB = q（U_A － U_B）= qU_AB的基本应用。

U_O = k + k = 0

U_D = k + k = －

U_∞ = 0

再用功与电势的关系即可。

【答案】（1）；（2）。

【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q₁和q₂ ，质量分别为m₁和m₂ ，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？

【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）

【答】（1）k；（2）E_k1 = k ，E_k2 = k；（3）k 。

〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q₁ 、q₂和q₃ ，两两相距为r₁₂ 、r₂₃和r₃₁ ，则这个点电荷系统的静电势能是多少？

〖解〗略。

〖答〗k（++）。

〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。

〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′，则

动量关系 mv + 2m v′= 0

能量关系 3k = 2 k + k + mv² + 2m

解以上两式即可的v值。

〖答〗v = q 。

三、电场中的导体和电介质

【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S ，间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q₁ ，B板带尽电量+Q₂ ，且Q₂＜Q₁ ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。

【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强定式。

为方便解题，做图7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为σ₁ 、σ₂ 、σ₃和σ₄ ，显然

（σ₁ + σ₂）S = Q₁

（σ₃ + σ₄）S = Q₂

A板内部空间场强为零，有 2πk（σ₁ ? σ₂ ? σ₃ ? σ₄）= 0

A板内部空间场强为零，有 2πk（σ₁ + σ₂ + σ₃ ? σ₄）= 0

解以上四式易得 σ₁ = σ₄ =

σ₂ = ?σ₃ =

有了四个面的电荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如E_Ⅱ =2πk（σ₁ + σ₂ ? σ₃ ? σ₄）= 2πk〕。

最后，U_AB = E_Ⅱd

【答案】（1）A板外侧电量、A板内侧电量，B板内侧电量?、B板外侧电量；（2）A板外侧空间场强2πk，方向垂直A板向外，A、B板之间空间场强2πk，方向由A垂直指向B，B板外侧空间场强2πk，方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2πkd，A板电势高。

〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。）

〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：）？如果在板间充满相对介电常数为ε_r的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）？

〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力？〔答：可以；以A为对象，外侧受力·（方向相左），内侧受力·（方向向右），它们合成即可，结论为F = Q₁Q₂ ，排斥力。〕

【模型变换】如图7-16所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。

【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q₁ ，介质部分电量为Q₂ ，显然有

Q₁ + Q₂ = Q

两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有

U₁ = U₂ 即 = ，即 =

解以上两式即可得Q₁和Q₂ 。

场强可以根据E = 关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。

上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E₂ ，所以

E₂ = 4πk（σ ? σ′）= 4πk（ ? ）

请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。

【答案】（1）真空部分的电量为Q ，介质部分的电量为Q ；（2）整个空间的场强均为；（3）Q 。

〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。

〖解〗略。

〖答〗Q′= Q 。

四、电容器的相关计算

【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？

【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。

第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是

+ = 解C′即可。

第（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程

+ =

【答案】（1）C ；（2）C 。

【相关模型】在图7-18所示的电路中，已知C₁ = C₂ = C₃ = C₉ = 1μF ，C₄ = C₅ = C₆ = C₇ = 2μF ，C₈ = C₁₀ = 3μF ，试求A、B之间的等效电容。

【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”，参见图7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——

Δ→Y型：C_a =

C_b =

C_c =

Y→Δ型：C₁ =

C₂ =

C₃ =

有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——

【答】约2.23μF 。

【物理情形2】如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε₁ = 3.0V ，ε₂ = 4.5V，开关K₁和K₂接通前电容器均未带电，试求K₁和K₂接通后三个电容器的电压U_ao 、U_bo和U_co各为多少。

【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。

电量关系：++= 0

电势关系：ε₁ = U_ao + U_ob = U_ao ? U_bo

ε₂ = U_bo + U_oc = U_bo ? U_co

解以上三式即可。

【答】U_ao = 3.5V ，U_bo = 0.5V ，U_co = ?4.0V 。

【伸展应用】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端，a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U ，而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？