Question

如图4-3-19所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B.一质量为m的小球从入口A沿切线方向由水平槽射入圆筒内，要使球从B处飞出，小球射入口A的速度v₀应满足什么条件？在运动过程中，球对筒的压力有多大？

图4-3-19

Answer 1

解析：解决曲线运动的最基本方法是运动的合成与分解，小球在初速度方向上不受任何力，故小球在水平面内的分运动为匀速率圆周运动；小球在竖直方向无初速度且只受重力，故小球在竖直方向的分运动为自由落体运动.对于周期性的运动问题还要注意多解存在的可能性.圆周运动的周期性决定本题的多解性.

小球自入口A射入后的运动可以分解成两个分运动，一个是以入射速率为线速度在水平面内的匀速圆周运动，另一个是在竖直方向上的自由落体运动.设小球在圆筒内绕过n圈后，从B处飞出,则小球在水平面内做圆周运动走过的路程是：

n(2πR)=v₀t①

在竖直方向上有：h=gt²②

由①②两式消去t得：

v₀==2πnR(n=1,2,3,…)

小球在整个运动过程中，水平方向只受支持力F_N,F_N总是指向圆心，充当向心力.则由牛顿第二定律可知：

F_N= (n=1,2,3,…)

由牛顿第三定律可知，

小球对筒的压力为F_N′= (n=1,2,3,…)

故小球射入口A的速度v₀应满足v₀=2πnR (n=1,2,3,…)

小球对筒的压力为F_N′= (n=1,2,3,…).