Question

（2011?东城区模拟）如图所示，四分之三周长的细圆管的半径R=0.4m，管口B和圆心O在同一水平面上，D是圆管的最高点，其中半圆周BE段存在摩擦，BC和CE段动摩擦因数相同，ED段光滑；质量m=0.5kg、直径稍小于圆管内径的小球从距B正上方高H=2.5m的A处自由下落，从B处进入圆管继续运动直到圆管的最高点D飞出，恰能再次飞到B处．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球飞离D点时的速度；
（2）小球在D点时对轨道的压力大小和方向；
（3）小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功．

Answer 1

分析：（1）小球从最高点D飞出做平抛运动，由水平距离和竖直距离求出小球飞离D点时的速度．
（2）在D点小球受到重力和圆管的弹力，由牛顿定律求解小球在D点时对轨道的压力大小和方向．
（3）根据动能定理求出小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功．

解答：解：（1）小球飞离D点后做平抛运动，有
             x_OB=R=v_Dt
             h=R=

1

2

gt2
           解得vD=

2

m/s
    （2）小球在D点受到重力mg，假设管道对它的作用力竖直向下为F_N，
            由牛顿第二定律得mg+FN=m

vD2

R

            解得F_N=-2.5N，说明圆管对小球的作用力是竖直向上的支持力．
           由牛顿第三定律可知小球对管道的内壁有压力，压力的大小为2.5N，方向竖直向下．
     （3）设小球从B到D的过程中克服摩擦力做功W_f
          在A到D过程中，根据动能定理，有mg(H-R)-Wf=

1

2

mvD2
             代入计算得W_f=10 J
答：（1）小球飞离D点时的速度为

2

m/s；
    （2）小球在D点时对轨道的压力为2.5N，方向竖直向下；
    （3）小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功为10J．

点评：本题是动能定理和向心力知识的综合应用，这类问题常常涉及到临界条件．第（3）问中用动能定理求变力的功也是常用方法．