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14．为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ=53°，长为L1=7.5m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与足够长的光滑水平轨道BC相连，然后在C处连接一个竖直的光滑圆轨道．如图所示．高为h=0.8m光滑的平台上有一根轻质弹簧，一端被固定在左面的墙上，另一端通过一个可视为质点的质量m=1kg的小球紧压弹簧，现由静止释放小球，物块离开台面时已离开弹簧，到达A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知小物块与AB间的动摩擦因数为μ=0.5．g取10m/s2，sin53°=0.8．求：
（1）弹簧被压缩时的弹性势能；
（2）小球到达C点时速度vC的大小；
（3）小球浸入圆轨道后，要使小球不脱离轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件．

分析 （1）根据小球在A点的速度方向，由平抛运动规律根据竖直高度得到竖直分速度，从而得到离开平台时的速度，然后对小球在平台上的运动应用动能定理即可求解；
（2）对小球从A到C应用动能定理求解；
（3）通过小球不脱离轨道得到小球的运动状况，然后应用机械能守恒求解．

解答 解：（1）小球离开台面到达A点的过程做平抛运动，故有：${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tanθ}=\frac{\sqrt{2gh}}{tanθ}=3m/s$，
小球在平台上运动，只有弹簧弹力做功，故由动能定理可得：弹簧被压缩时的弹性势能为：${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=4.5J$；
（2）小球在A处的速度为：${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=5m/s$；小球从A到C的运动过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：
$mg{L}_{1}sinθ-μmg{L}_{1}cosθ=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2g{L}_{1}（sinθ-μcosθ）}=10m/s$；
（3）小球进入圆轨道后，要使小球不脱离轨道，即小球能通过圆轨道最高点，或小球能在圆轨道上到达的最大高度小于半径；
那么对小球能通过最高点时，在最高点应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$；
对小球从C到最高点应用机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$
解得：$0＜R≤\frac{{{v}_{C}}^{2}}{5g}=2m$；
对小球能在圆轨道上到达的最大高度小于半径的情况应用机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgh≤mgR$
解得：$R≥\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2g}=5m$；
故小球进入圆轨道后，要使小球不脱离轨道，则竖直圆弧轨道的半径R≥5m或0＜R≤2m；
答：（1）弹簧被压缩时的弹性势能为4.5J；
（2）小球到达C点时速度vC的大小为10m/s；
（3）小球进入圆轨道后，要使小球不脱离轨道，则竖直圆弧轨道的半径R≥5m或0＜R≤2m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．

练习册系列答案
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