Question

如图所示，一轻绳绕过两轻质滑轮，两端分别连接着矩形导线框A和石块C，线框A的两边长分别为d=1m、l=0.6m，电阻R=0.1Ω，质量m=0.5kg，石块C质量M=2kg．线框正上方有垂直纸面向外的有界水平匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，磁场宽度为s=1.6m．如果线框从图示位置由静止开始释放，则恰好能匀速进入磁场．取g=10m/s²．试求：
（1）线框进入磁场时匀速运动的速度v₀；
（2）线框进入磁场过程中产生的电热Q；
（3）线框上边刚出磁场时的加速度a．

Answer 1

分析：（1）线框进入磁场时匀速运动，所受的拉力、重力和安培力三个力平衡．根据E=Bdv₀，I=

E

R

，F_A=BId，推导出安培力与速度的关系式，再根据平衡条件列式，求解速度．
（2）线框进入磁场过程中产生的电热Q等于A、C系统减少的重力势能，根据能量守恒定律求解电热．
（3）线框完全在磁场中运动时，穿过线框的磁通量没有变化，没有感应电流产生，系统的机械能守恒，由机械能守恒定律或动能定理求出线框上边刚出磁场时的速度，求得此时线框所受的安培力，再根据牛顿第二定律求解加速度．

解答：解：设线框进入磁场时匀速运动的速度为v₀，则产生的电动势：E=Bdv₀
感应电流为：I=

E

R

安培力为：F_A=BId   
则得：F_A=

B2d2v0

R

对线框和石块整体，受力平衡：Mg=mg+F_A         
联立解得：v₀=

(M-m)gR

B2d2

=

(2-0.5)×10×0.1

0．52×12

=6m/s         
（2）根据能量转化和守恒定律知，电热等于A、C系统减少的重力势能，即：
Q=（M-m）gl=（2-0.5）×10×0.6J=9J         
（3）设线框上边刚出磁场时的速度为v，对线框和石块整体，根据动能定理有：
  Mg（s-l）-mg（s-l）=

1

2

(M+m)v2-

1

2

(M+m)

v

2 0

代入数据解得：v=4

3

m/s
此时的安培力为：

F

′ A

=

B2d2v

R

=10

3

N      
对线框和石块整体，根据牛顿第二定律有：
  Mg-mg-

F

′ A

=（M+m）a        
解得：a=6-4

3

m/s²=-0.93m/s²         
即加速度大小为0.93m/s²，方向竖直向下．        
答：（1）线框进入磁场时匀速运动的速度v₀是6m/s．
（2）线框进入磁场过程中产生的电热Q是9J．
（3）线框上边刚出磁场时的加速度大小为0.93m/s²，方向竖直向下．

点评：对于电磁感应问题，关键要会推导安培力的表达式和分析能量如何转化．