Question

如图所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动简化为图12的模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=8.0m，该光滑圆形轨道固定在倾角为θ=37°斜轨道面上的Q点，圆形轨道的最高点A与倾斜轨道上的P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使质量为m的小车（视作质点）从P点以一定的初速度v₀=12m/s沿斜面向下运动，不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，则：
（1）小车在A点的速度为多大？（结果用根式表示）
（2）小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为多少？
（3）求斜轨道面与小车间的动摩擦因数多大？（结果用分数表示）

Answer 1

分析：（1）小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，轨道对小车的弹力为零，由重力提供圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律求出小车在A点的速度．
（2）根据动能定理或机械能守恒求出小车在轨道B点是的速度，再运用牛顿第二定律，通过支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛顿第三定律得到压力．
（3）对P到A全过程运用动能定理，重力做功为零，根据几何关系求出在斜面上的位移，通过动能定理求出动摩擦因数．

解答：解：（1）由于小车恰能通过A点，由重力提供圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律得：
  mg=m

vA2

R

解得：vA=

gR

=4

5

m/s…①
（2）如图，小车经轨道最低点D时对轨道压力最大．
设在D点轨道对小车的支持力为N
则有：N-mg=m

vD2

R

…②
小车由D到A的运动过程机械能守恒，
则有：2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvA2…③
由①②③得：N=6mg
依牛顿第三定律，在D点小车对轨道的压力N′=N=6mg．
（3）设PQ距离为L，对小车由P到A的过程应用动能定理
得：-μmgLcos37°=

1

2

mvA2-

1

2

mv02…④
由几何关系得：L=

R+Rcos37°

sin37°

…⑤
由①、④、⑤解得：μ=

1

6

答：
（1）小车在A点的速度为4

5

m/s．
（2）小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为6mg．
（3）求斜轨道面与小车间的动摩擦因数为

1

6

．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和动能定理，关键是理清运动的过程，运用合适的规律进行求解．