Question

如图所示是游乐场中过山车的模型图，图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为θ=37°斜轨道面上的A、B两点，且两圆形轨道的最高点C、D均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接，现使小车（视为质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动，已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=

1

6

，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．问：
（1）若小车恰能通过第一个圆形轨道韵最高点C，则在C点速度多大？PA距离多人？
（2）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点C，P点的初速度应为多大？
（3）若小车在P点的初速度为15m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？

Answer 1

分析：（1）小车恰好通过最高点C，说明重力完全提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出C点速度；PA间的距离可以根据几何关系求解，可以过O₁点作一条水平线作为辅助线，也可以连接点PO₁，然后通过半角公式求解出PA间距．
（2）小车从P到C的整个运动过程中，重力先做正功，后做负功，总功为零，支持力也不做功，故只有摩擦力做功，根据动能定理列式求解；
（3）先求出小车恰能通过D点的临界速度，然后根据动能定理对P到D过程列式，求出对应的初速度，与已知的初速度比较即可．

解答：解：（1）设小车经过C点时的临界速度为v₁，则
mg=m

v 2 1

R1

解得
v₁=

gR1

=

10×2

=2

5

m/s
设P、A两点间距离为L₁，由几何关系可得L1=

R1

tan θ 2

=

R1(1+cosθ)

sinθ

即C点速度为2

5

m/s，PA距离为

R1(1+cosθ)

sinθ

．
（2）从P运动到C，根据动能定理，有
-μmgcosθ?L1=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

解得
v₀=6m/s
即P点的初速度应为6m/s．
（3）设P、B两点间距离为L₂，由几何关系可得
L2=

R2(1+cosθ)

sinθ

设小车能恰能完全通过两个圆形轨道，在D点的临界速度为v₂，则
mg=m

v 2 2

R2

设P点的初速度为v₀′小车从P运动到D，根据动能定理，有
-μmgL2cosθ=

1

2

m

v′

2 2

-

1

2

m

v

2 0

v₀′=12m/s
可知v₀′=12m/s＜15m/s，能安全通过．

点评：本题关键根据动能定理对各个过程列式，难点在于几何关系的确定，切入点在于小车恰能通过最高点．