Question

13．如图所示，MN为两竖直放置的金属板，其间的电压U_NM=180V，两水平放置的金属板FH间所加电压U_FH=7.2sin2πt伏（从第一个电子刚进入FH板开始计时），已知MN两板各有一个小孔，两小孔连线水平且与MN两板垂直并刚好通过FH两板的中心线，以此线作为x轴，FH的中心线末端为坐标原点O，竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知坐标系的第一、四象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度B=5×10^-4T，现有电子可以源源不断的从M板的小孔进入电场，已知进入M孔的电子的初速度可以忽略（不计电子之间的相互作用力），且相同时间内进入的电子数目相同．已知电子电量e=1.6×10^-19C，电子质量为m=9×10^-31kg，FH板板长L=0.4m，板间间距d=0.04m，电子重力不计．

（1）求电子从N板小孔射出时速度的大小及t=0时刻进入FH板的电子在磁场中作圆周运动的半径．
（2）求从t=0时刻至T=1s时刻从FH板射入的电子中，能从FH板射出的电子数与进入FH板的电子数之比．
（3）求电子从磁场射出的位置坐标y的范围．
（4）已知所有从磁场射出的电子好像都是从磁场中某一点沿直线射出来的一样，试求该点的坐标．

Answer 1

分析 （1）加速电场对电子做的功等于电子动能的变化，由洛伦兹力提供向心力得出半径；
（2）在偏转电场中电子做类平抛运动，根据运动的合成与分解求出电子能穿过电场的最大电压，然后由电压的瞬时值表达式即可求出；
（3）作出圆周运动出磁场的临界轨迹，根据平抛运动的特点求出电子射出磁场时的速度大小以及偏转的方向，根据根据洛伦兹力提供向心力求解电子运动的半径，在结合几何关系即可求出；
（4）画出电子沿x轴进入磁场时在磁场中的运动轨迹和电子从电场的边缘进入磁场时运动的轨迹，结合几何关系即可求得．

解答 解：（1）电子在加速电场中由动能定理得：
eU_MN=$\frac{1}{2}mv_0^2$   ①
解得v₀=8.0×10⁶m/s
由于电子的速度大，穿过偏转电场的过程中偏转电压几乎不变，t=0时刻的偏转电压是0，所以电子做匀速直线运动．进入磁场的速度仍然不变，则：
$e{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{mv}{eB}=\frac{9×1{0}^{-31}×8.0×1{0}^{6}}{1.6×1{0}^{-19}×5×1{0}^{-4}}=0.3$m
（2）电子在偏转电场中做类平抛运动，设电子恰好从电场的边缘射出电场时，偏转电压为U₂，有：a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}a•\frac{{L}^{2}}{{v}_{0}^{2}}$=$\frac{d}{2}$
联立以上公式，并代入数据得：U₂=3.6V
结合U_FH=7.2sin2πt，可知，在第一秒内，当t=$\frac{1}{12}$s或$t=\frac{5}{12}$s时，电子从上极板的边缘射出；当t=$\frac{7}{12}$s或$t=\frac{11}{12}$s时，电子从下极板的边缘射出，
所以在0-$\frac{1}{12}$s、$\frac{5}{12}$s-$\frac{7}{12}$s、$\frac{11}{12}$s-1s的时间内入射的电子内射出电场，由于相同时间内进入的电子数目相同，则能从FH板射出的电子数与进入FH板的电子数之比等于相应的时间的比值，即：$\frac{{n}_{FN}}{N}=\frac{\frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}}{1}=\frac{1}{3}$
（3）电子在偏转电场中偏转的过程中，电场力做正功，电子的动能增加，由动能定理得：$e•\frac{{U}_{2}}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{1}=8.04×1{0}^{6}$m/s
在磁场中的半径：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{eB}$
代入数据得：r₁≈0.3015m
沿电场方向的分速度：${v}_{y}=at=\frac{e{U}_{2}}{md}•\frac{L}{{v}_{0}}$
飞出电场时，速度偏转角的正切为：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{U}_{2}L}{2{U}_{MN}d}=\frac{1}{10}$
电子射出磁场时的位移：△y=2r₁cosθ=2×0.3015×0.995=0.600m
由左手定则可知，电子在磁场中向上偏转，所以射出磁场的最大位置：${y}_{max}=△y+\frac{d}{2}=0.600+\frac{0.04}{2}=0.602$m
以射出磁场的最小位置：${y}_{min}=△y-\frac{d}{2}=0.600-\frac{0.04}{2}=0.598$m
电子从磁场射出的位置坐标y的范围是：0.598m≤y≤0.602m
（4）沿x轴进入磁场时电子经过半个周期后射出磁场，偏转180°，而从电场的边缘进入磁场的电子运动的轨迹如图，则纵坐标y=2r=2×0.3m=0.6m：

由几何关系可知，两个圆与y轴的交点的切线之间的夹角等于从电场的边缘进入磁场时与x轴之间的夹角，为θ，所以两条切线的交点距离y轴的距离为：
$x=\frac{2r-{y}_{min}}{tanθ}=10×（2×0.3-0.598）=0.2$m
所以若所有从磁场射出的电子好像都是从磁场中某一点沿直线射出来的一样，该点的坐标为（0.2m，0.6m）
答：（1）电子从N板小孔射出时速度的大小是8.0×10⁶m/s，t=0时刻进入FH板的电子在磁场中作圆周运动的半径是0.3m．
（2）从t=0时刻至T=1s时刻从FH板射入的电子中，能从FH板射出的电子数与进入FH板的电子数之比是$\frac{1}{3}$．
（3）电子从磁场射出的位置坐标y的范围是0.598m≤y≤0.602m．
（4）已知所有从磁场射出的电子好像都是从磁场中某一点沿直线射出来的一样，该点的坐标为（0.2m，0.6m）．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，涉及电子的加速、偏转以及在磁场中的圆周运动，解答的关键是分析粒子在磁场中的运动情况，能够结合电子的最大速度画出粒子的临界边界，并结合几何关系求出结果．