Question

若在相距很远的两颗行星A和B的表面各发射一颗卫星a和b，它们都在行星表面附近做圆周运动，测得a绕行星A的周期为T_a，b绕行星B的周期为T_b，则这两颗行星的密度之比ρ_A：ρ_B=

T_B²：T_A²

．

Answer 1

分析：此题要求要熟练的掌握万有引力公式和向心力的各个表达式，根据条件选择合适的公式，该题给了运动的周期，我们要选万有引力的公式和m

4π2

T2

r进行联立，推导出表示天体的质量M的式子，再根据密度的公式ρ=

M

V

可表示出天体的密度．

解答：解：
由万有引力定律的公式和向心力公式有：
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
得：M=

4π2r3

GT2

ρ=

M

V

=

M

4 3 πR

=

3πr2

GT2R

（R为天体的半径）
当卫星沿天体表面绕天体运行时，r=R
则有：ρ=

3π

GT2

则会推导出ρ_A：ρ_B=T_B²：T_A²
故答案为：T_B²：T_A²

点评：万有引力定律的公式的使用条件是适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，质量分布均匀的球体可以视为质量集中于球心的质点．
应用万有引力定律分析天体的运动的基本方法是：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由中心天体对它的万有引力提供．基本关系式是：G

Mm

r2

=m

v2

r

=mω2r=m(

2π

T

)2r = m(2πf)2 r=mωv，应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算．