Question

3．在光滑水平面上有一小车，小车上固定一竖直杆，总质量为M，杆顶系一长为L的轻绳，绳另一端系一质量为m的小球，绳被水平拉直处于处于静止状态，小球处于最右端．将小球由静止释放，求：
（1）小球摆到最低点时小球速度大小
（2）小车向右移动最大距离
（3）小球向左移动最大距离．

Answer 1

分析 （1）小球在下摆过程中，小球与车组成的系统水平方向动量守恒，系统的机械能也守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律列式可求得小球的速度；
（2、3）对小球和小车系统，根据平均动量守恒定律可确定位移关系，可求得小车向右移动的最大距离和小球向左移动的最大距离．

解答 解：（1）当小球到达最低点时其速度为v₁，此时小车的速度为v₂，设小球的速度方向为正方向，根据动量守恒与能量守恒可以得到：
    0=mv₁+Mv₂
  mgL=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²
联立可以得到：v₁=$\sqrt{\frac{2{M}^{2}gl}{{M}^{2}+Mm}}$，v₂=-$\sqrt{\frac{2{m}^{2}gl}{{M}^{2}+Mm}}$．
（2、3）设当小球到达最低点时，小球向左移动的距离为s₁′，小车向右移动的距离为s₂′，根据系统水平方向平均动量守恒，则：
  m$\frac{{s}_{1}′}{t}$-M$\frac{{s}_{2}′}{t}$=0，而且s₁′+s₂′=L
联立可以得到：s₁′=$\frac{ML}{M+m}$，s₂′=$\frac{ml}{M+m}$
由于惯性作用，当小球到达最低点后，继续向左运动，小车继续向右运动，根据系统的机械能守恒可知，小球能上升与原来等高的位置．
则小球向左移动最大距离为：s₁=2s₁′=$\frac{2ML}{M+m}$，小车向右移动最大距离为：s₂=2s₂′=$\frac{2ml}{M+m}$
答：
（1）小球摆到最低点时小球速度大小是$\sqrt{\frac{2{M}^{2}gl}{{M}^{2}+Mm}}$．
（2）小车向右移动最大距离是$\frac{2ml}{M+m}$．
（3）小球向左移动最大距离是$\frac{2ML}{M+m}$．

点评 本题考查水平方向动量守恒定律及机械能守恒定律的应用，在解题时要注意明确动量守恒的条件，同时注意分析运动过程，明确物理规律的应用．