Question

1．竖直平面内有区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，区域Ⅰ与Ⅱ在水平地面上方，Ⅲ在水平地面的右方，区域Ⅱ的宽度为L=10m．区域Ⅰ内有水平传送带AB，AB长为L_AB=36m，B端距地面的高度为h=5m，区域Ⅲ内有竖起向上的匀强电场E=10V/m和垂直纸面向里的匀强磁场B=π（T），电磁场区域无限宽广．一质量为m=0.01kg、带电量为+q=0.01C的带电物块（可看成质点）静止于A处．传送带绝缘，物块与传送带的动摩擦因数为μ=0.2．不计空气阻力和皮带轮的大小，g=10m/s²．
（1）若传送带顺时针匀速转动，v₀=4m/s，则物块经过多长时间到达B点；
（2）若物块恰好从Ⅱ区右下角进入Ⅲ区，求传送带向右匀速运动的速度和物块在电磁场中运动的时间；
（3）计算物块在电磁场中运动的半径与传送带速度的关系，并求出最小半径．

Answer 1

分析 （1）根据滑动摩擦力，结合牛顿第二定律，求得滑块在皮带上的加速度，再根据皮带速度，结合运动学公式，发现滑块在皮带上先匀加速，后匀速，从而即可求解时间；
（2）根据滑块做平抛运动，由水平位移与竖直高度，从而求得抛出的初速度，再由速度的合成，求得进入电磁场的速度大小与方向，再根据电场力与重力平衡，可判定带电滑块在电磁场中做匀速圆周运动，最后由周期公式，结合圆弧对应的圆心角，即可求解；
（3）根据平抛运动的水平位移，从而求得运动的时间，由速度的合成，求得滑块进入电磁场的速度，再结合半径公式，即可列出表达式，根据数学知识，求得半径最小值．

解答 解：（1）物块与传送带的动摩擦因数为μ=0.2．
由牛顿第二定律，则有加速度a=μg=2m/s²；
若传送带顺时针匀速转动，v₀=4m/s，
则滑块经过t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=2s达到共同速度，
在2s内滑块发生位移s₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$=4m；
因此滑块先匀加速后匀速直线运动，t₂=$\frac{{s}_{AB}-{s}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{36-4}{4}$s=8s；
那么物块经过t=2+8=10s时间到达B点；
（2）物块恰好从Ⅱ区右下角进入Ⅲ区，滑块做平抛运动，

水平方向，L=v₀t=10m
竖直方向，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=5m；
解得：v₀=10m/s
而v_y=gt=10m/s
因此滑块以10$\sqrt{2}$m/s，与竖直夹角为45°速度，进入电磁场中，
由于mg=0.01×10=0.1N
而qE=0.01×10=0.1N
因电场力与重力相等，则带电滑块在电磁场中，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
那么圆弧对应的圆心角为270°，因此物块在电磁场中运动的时间t₃=$\frac{3}{4}T$=$\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3}{2}s$
（3）滑块做平抛运动，进入电磁场的时间为t₄=$\frac{L}{{v}_{皮}}$
那么滑块进入电磁场的竖直方向速度v_y′=$\frac{gL}{{v}_{皮}}$
由速度合成可知，滑块进入电磁场的速度v′=$\sqrt{（\frac{gL}{{v}_{皮}}）^{2}+{v}_{皮}^{2}}$
根据滑块做圆周运动的半径公式R=$\frac{mv′}{qB}$=$\frac{m}{qB}$$\sqrt{（\frac{gL}{{v}_{皮}}）^{2}+{v}_{皮}^{2}}$
由上式，结合数学知识，可知，当v_皮=10m/s时，运动的半径最小，
最小半径为R_min=$\frac{0.01×10\sqrt{2}}{0.01×π}$=4.5m
答：（1）若传送带顺时针匀速转动，v₀=4m/s，则物块经过10s时间到达B点；
（2）若物块恰好从Ⅱ区右下角进入Ⅲ区，传送带向右匀速运动的速度10m/s
和物块在电磁场中运动的时间1.5s；
（3）物块在电磁场中运动的半径与传送带速度的关系R=$\frac{m}{qB}$$\sqrt{（\frac{gL}{{v}_{皮}}）^{2}+{v}_{皮}^{2}}$，最小半径4.5m．

点评 考查物体做匀变速直线运动、平抛运动与匀速圆周运动，掌握运动学公式，理解平抛运动规律，知道周期与半径公式，注意画出正确的运动图是解题的关键，最后掌握数学知识来求得极值的方法．