Question

（2013?安徽模拟）如图所示，光滑的水平面AB与半径为R=0.32m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D为轨道最高点．用轻质细线连接甲、乙两小球，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲乙两球不栓接．甲球的质量为m₁=0．lkg，乙球的质量为m₂=0.3kg，甲、乙两球静止在光滑的水平面上．现固定甲球，烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道恰好能通过D点．重力加速度g取l0m/s²，甲、乙两球可看作质点．
（l）试求细线烧断前弹簧的弹性势能．
（2）若甲球不固定，烧断细绳，求乙球离开弹簧后进入半圆轨道能达到的最大高度．
（3）若同时给甲、乙两球向右初速度v_o烧断细绳，乙球离开弹簧后进入半圆轨道仍恰好能通过D点．求v_o的大小．

Answer 1

分析：（1）乙球恰好能通过D点，由重力提供向心力，列式求出乙球通过D点时的速度大小．根据机械能守恒可求出烧断细线后瞬间乙球的速度．根据系统的机械能守恒求解细线烧断前弹簧的弹性势能．
（2）若甲球不固定，烧断细线的过程，两球组成的系统动量守恒，机械能也守恒，运用两大守恒定律列式，可求得细线烧断瞬间两球的速度大小，再对乙球，根据机械能守恒求解达到的最大高度．
（3）甲乙两球和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒，列式两个守恒方程；在D点，利用第1小题的结果，联立求解．

解答：解：（1）设乙球恰好通过D点的速度为v_D，此时由重力提供向心力，则有：
   m₂g=m₂

v 2 D

R

      
解得：v_D=

gR

=

10×0.32

m/s=

3.2

m/s
设弹簧的弹性势能E_p，地面为零势能面．由机械能守恒得：
  E_p=m₂g×2R+

1

2

m2

v

2 D

解得：E_p=0.3×10×2×0.32+

1

2

×0.3×3.2=2.4J
（2）若甲球不固定，取向右方向为正方向．根据甲乙球和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒得：
  m₂v₂-m₁v₁=0
  E_p=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

对于乙球，由机械能守恒得：
   m₂gh=

1

2

m2

v

2 2

解得：h=

5

8

R=0.2m，因h＜R，故乙球不会脱离半圆轨道，乙球能达到的最大高度 h=0.2m
（3）甲乙两球和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒
 （m₁+m₂）v₀=m₁v₁′+m₂v₂′
 

1

2

（m₁+m₂）v

2 0

+E_p=

1

2

m1

v

′2 1

+

1

2

m2

v

′2 2

且：E_p=2.4J
解得：v₀=

1

2

5gR

=

5×10×0.32

2

m/s=2m/s
答：（l）细线烧断前弹簧的弹性势能为2.4J．
（2）乙球离开弹簧后进入半圆轨道能达到的最大高度为0.2m．
（3）v_o的大小为2m/s．

点评：分析清楚运动过程，应用牛顿第二定律、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．