Question

7．如图（a）所示，绝热气缸内封闭着一定质量的理想气体，一厚度不计的绝热活塞与上、下气缸内壁相距均为h，把气体分成体积相等的M、N两部分．气缸内壁光滑，活塞可在气缸内自由滑动．已知活塞的横截面积为S，质量为m=$\frac{{p}_{0}S}{g}$，两部分气体的初始温度均为T₀，M内气体的初始压强为p₀．现把M、N两部分倒置，问：
（i）倒置后如图（b），通过电热丝加热M内的气体一段时间，若仍要使两部分气体体积相等，则M内气体的温度需达到多少？
（ii）倒置后如图（c），活塞向下移动，当两部分气体各自达到新的平衡，发现N内气体温度为$\frac{5}{8}$T₀，M内气体温度为$\frac{3}{2}$T₀，则活塞向下移动的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）先求出倒置前N部分气体的压强，倒置加热后，N部气体的体积和压强均不变，即可求出倒置加热后M部分气体的压强，再应用查理定律可以求出气体的温度．
（2）设倒置后，活塞向下移动的距离是△h，根据几何关系写出它们的体积之间的关系式；对活塞进行受力分析，写出它们的压强之间的关系式，然后分别写出两部分气体的理想状态的状态方程，最后联立即可求出．

解答 解：（i）由题意可知，倒置前后，N内气体体积和温度不变，由理想气体状态方程可知，
其压强也不变，为${P_N}={P_0}+\frac{mg}{S}=2{P_0}$①
设倒置后M内气体的压强为P₁、温度为T₁，
由题意可知${P_1}={P_N}+\frac{mg}{S}=3{P_0}$②
倒置过程M内气体体积不变，由查理定律得：$\frac{P_0}{T_0}=\frac{P_1}{T_1}$③
联立②③解得：T₁=3T₀
（ii）设活塞的横截面积为S．倒置后，活塞向下移动的距离是△h，N内气体的温度为${T_N}^/=\frac{5}{8}{T_0}$、压强为${P_N}^/$，M内气体的温度为${T_M}^/=\frac{3}{2}{T_0}$、压强为${P_M}^/$．
由题意可知${P_M}^/={P_N}^/+\frac{mg}{S}={P_N}^/+{P_0}$④
倒置过程，由理想气体状态方程可知，
对N内气体，有$\frac{{{P_N}•Sh}}{T_0}=\frac{{{P_N}^/•S（h+△h）}}{{{T_N}^/}}$⑤
对M内气体，有$\frac{{{P_0}•Sh}}{T_0}=\frac{{{P_M}^/•S（h-△h）}}{{{T_M}^/}}$⑥
联立①④⑤⑥解得：$△h=\frac{h}{4}$
答：（i）倒置后如图（b），M内气体的温度需达到3T₀；
（ii）倒置后如图（c），则活塞向下移动的距离是$\frac{1}{4}h$．

点评 本题考查了气体温度问题以及理想状态的状态方程，求出气体初末状态的参量，应用查理定律即可正确解题；知道整个过程中N的压强不变、应用平衡条件求出气体压强是正确解题的前提与关键