Question

1．如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O．让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°．忽略空气阻力，求
（1）两球a、b的质量之比；
（2）设b球的质量为m，摆线长度为L，两球在碰撞过程中损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）b球下摆过程中，只有重力做功，由动能定理可以求出碰前b球的速度；碰撞过程中动量守恒，由动量守恒定律列方程，两球向左摆动过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律或动能定理列方程，解方程组可以求出两球质量之比．
（2）根据能量守恒定律求两球在碰撞过程中损失的机械能．

解答 解：（1）设两球a、b的质量分别为m₁、m₂．
b球下摆过程中，由动能定理得：m₂gL=$\frac{1}{2}$m₂v₀²-0，
a与b组成的系统在碰撞过程动量守恒，由动量守恒定律可得：m₂v₀=（m₁+m₂）v，
两球整体向左摆动过程中，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²=（m₁+m₂）gL（1-cos60°）
联立解得：m₁：m₂=（$\sqrt{2}$-1）：1
（2）两球在碰撞过程中损失的机械能为△E=$\frac{1}{2}$m₂v₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²=m₂gL-（m₁+m₂）gL（1-cos60°）．
据题 m₂=m
结合上题结果解得△E=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$mgL
答：
（1）两球a、b的质量之比是（$\sqrt{2}$-1）：1．
（2）两球在碰撞过程中损失的机械能为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$mgL．

点评 解决本题的关键要分过程研究，把握每个过程的规律，知道小球小下摆或上摆过程中机械能守恒，碰撞过程中动量守恒，由动能定理（或机械能守恒定律）、动量守恒定律即可正确解题．