题目内容

如图所示，一根粗细均匀的足够长直杆竖直固定放置，其上套有A、B两个金属环，质量分别为mA、mB，mA：mB=4：1，杆上P点上方是光滑的且长度为L，P点下方是粗糙的，杆对两环的滑动摩擦力大小均等于环各自的重力．现将环A静止在P处，再将环B从杆的顶端由静止释放，B下落与A发生碰撞，碰撞时间极短，碰后B的速度方向向上，速度大小为碰前的
35
．求：
（1）试通过分析说明B与A第一次碰撞时，A、B系统能量损失△E为多少；
（2）B与A发生第二次碰撞时的位置到P点的距离；
（3）B与A第一次碰撞后到第二次碰撞前，B与A间的最大距离．
分析：1、由机械能守恒定律求出B自由下落L时速度，A，B组成的系统动量守恒列出等式求出A的速度大小，根据根据能量转化和守恒列出等式求解
2、进行运动分析，运用运动学公式求解．
3、两环相距最远时，速度相同，对物体进行运动分析，运用运动学公式求解．
解答：解：（1）设B自由下落L时速度为v0，由机械能守恒定律得：
mBgL=
1
2
mB
v
2
0

解得：v0=
2gL
…①
设B与A碰撞后瞬间，B的速度大小为VB，A的速度大小为VA，A，B组成的系统动量守恒，规定向下的方向为正．
mBv0=-mBvB+mAvA…②
将vB=
3
5
v0 代入上式解得：
vA=
2
5
v0…③
根据能量转化和守恒得B与A第一次碰撞时，A、B系统能量损失为：
△E=
1
2
mB
v
2
0
-
1
2
mB
v
2
B
-
1
2
mA
 v
2
A
=0
（2）碰撞后A匀速下滑，B做竖直上抛运动，从返回到P点时，速度大小仍为vB，此后，B也做匀速运动，
由于vB＞vA所以B也会发生第二次碰撞．
设A、B碰撞后经时间t发生第二次碰撞，B做竖直上抛运动返回到P点经历的时间为t，则A的位移为：
sA=vAt…④
B匀速运动的位移为：sB=vB（t-t1）…⑤
解得：t1=
2 vB
g
…⑥
由sA=sB并联立①③④⑤⑥解得：t=
18v0
5g
…⑦
解得：SA=
3
6v
2
0
25g
=
72L
25
…⑧
所以，A、B第二次碰撞的位置在P点下方
72L
25
．
（3）两环相距最远时，速度相同，vB=vA，此时B环在P点上方，设经历的时间为t′
由vA=vB+gt′解得：t′=
v0
g
…⑨
A的位移为：：S′A=vAt′=
2v
2
0
5g

B的位移为：：S′B=-
v
2
0
10g

解得：△S=S′A-S′B=
v
2
0
2g
=L
答：（1）B与A第一次碰撞时，A、B系统能量损失△E为0；
（2）A、B第二次碰撞的位置在P点下方
72L
25
；
（3）B与A第一次碰撞后到第二次碰撞前，B与A间的最大距离是L．
点评：解决该题关键要进行A、B的运动分析，正确找出其位置关系，运用系统动量守恒、机械能守恒定律、运动学公式求解．
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