题目内容
3．
如图1所示，在某星球表面用一长为R的轻绳约束一个质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，在最低点B给小球一个大小为$\sqrt{5gR}$的水平初速度时，小球恰好能通过最高点A，且在最低点B与最高点A，小球所受轻绳的拉力之差为△F，不计一切阻力．（1）求星球表面的重力加速度
（2）如图2当小球运动到最低点B时，绳子突然被剪断，小球运动一段时间后恰好击中倾角为θ的斜面，且位移最短，试求该小球运动的时间．
分析 （1）抓住小球恰好通过最高点，结合最高点和最低点的拉力之差，根据牛顿第二定律求出星球表面的重力加速度．
（2）当小球的位移方向与斜面垂直，位移最短，结合竖直位移和水平位移的关系求出小球运动的时间．
解答 解：（1）小球恰好通过最高点，可知在最高点，绳子的拉力为零，
在最低点B与最高点A，小球所受轻绳的拉力之差为△F，可知在最低点绳子的拉力为△F，
则有：$△F-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得△F=6mg，
则g=$\frac{△F}{6m}$．
（2）小球击中斜面，位移最短，可知位移的方向与斜面垂直，
根据平行四边形定则有：tan（90°-θ）=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{B}t}=\frac{gt}{2{v}_{B}}$，
解得$t=\frac{2{v}_{B}}{gtanθ}$，
将g=$\frac{△F}{6m}$，${v}_{B}=\sqrt{5gR}$代入得，t=$\frac{2\sqrt{\frac{30mR}{△F}}}{tanθ}$．
答：（1）星球表面的重力加速度为$\frac{△F}{6m}$．
（2）该小球运动的时间为$\frac{2\sqrt{\frac{30mR}{△F}}}{tanθ}$．
点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．
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