题目内容
如图所示，在直角坐标系 xoy 的第一象限内存在沿 y 轴负方向、场强为 E 的匀强电场，在第四象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场，在磁场与电场分界线的 x 轴上有一无限大的薄隔离层．一质量为 m、电量为+q、初速度为零的带电粒子，从坐标为（ x ，y ）的 P 点开始被电场加速，经隔离层垂直进入磁场，粒子每次穿越隔离层的时间极短，且运动方向不变，其穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍（ k＜1）．不计带电粒子所受重力．求：（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径 R 1；
（2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标 y1；
（3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间 t；
（4）若带电粒子第四次穿越隔离层时刚好到达坐标原点 O，则 P 点横坐标 x与纵坐标 y应满足的关系．
【答案】分析：（1）根据动能定理求出粒子第一次到达隔离层时的速度，从而得出第一次穿越隔离层的速度，根据洛伦兹力提供向心力求出带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径．
（2）穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍．得知第二次穿越隔离层的速度，根据动能定理求出带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标．
（3）从开始到第三次穿越隔离层过程中，在磁场中运动半个圆周，根据周期公式求出在磁场中运动的时间，在电场中做匀变速直线运动，根据位移时间公式求出在电场中运动的时间，从而求出总时间．
（4）分别求出第一次穿越隔离层和第三次穿过隔离层后在磁场中运动的轨道半径，抓住x=2R1+2R2求出 P 点横坐标 x与纵坐标 y应满足的关系．
解答：解：（1）第一次到达隔离层时速度为v
qEyo=
mvo2，v=
第一次穿越隔离层后速度为v1=k
由qv1B=m
，得第一次在磁场中做圆周运动半径为 R1=
=
（2）第二次穿越隔离层后速度为v2=k2
-qEy1=0-
mv22，得y1=k4y
（3）由yo=
t2，得第一次到达隔离层的时间为 t=
圆周运动的周期T=
第一次在磁场中做圆周运动时间为 t1=
=
第二次穿越隔离层后到达最高点时间为 t2=
=k 2
从开始到第三次穿越隔离层所用总时间
t=t+t1+2t2=（1+2 k2）
+
（4）第三次穿越隔离层后的速度为v 3=k 3
第二次在磁场中做圆周运动半径为R2=
x=2R1+2R2=（ 2 k+2 k 3）
答：（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径为
．
（2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标y1=k4y
（3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间为（1+2 k2）
+
．
（4）P 点横坐标 x与纵坐标 y应满足的关系为：x=（ 2 k+2 k 3）
．
点评：本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，关键知道粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做匀变速直线运动，运用牛顿第二定律结合运动学公式进行求解．
（2）穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍．得知第二次穿越隔离层的速度，根据动能定理求出带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标．
（3）从开始到第三次穿越隔离层过程中，在磁场中运动半个圆周，根据周期公式求出在磁场中运动的时间，在电场中做匀变速直线运动，根据位移时间公式求出在电场中运动的时间，从而求出总时间．
（4）分别求出第一次穿越隔离层和第三次穿过隔离层后在磁场中运动的轨道半径，抓住x=2R1+2R2求出 P 点横坐标 x与纵坐标 y应满足的关系．
解答：解：（1）第一次到达隔离层时速度为v
qEyo=
mvo2，v=第一次穿越隔离层后速度为v1=k
由qv1B=m
，得第一次在磁场中做圆周运动半径为 R1==（2）第二次穿越隔离层后速度为v2=k2
-qEy1=0-
mv22，得y1=k4y（3）由yo=
t2，得第一次到达隔离层的时间为 t=圆周运动的周期T=
第一次在磁场中做圆周运动时间为 t1=
=第二次穿越隔离层后到达最高点时间为 t2=
=k 2从开始到第三次穿越隔离层所用总时间
t=t+t1+2t2=（1+2 k2）
+（4）第三次穿越隔离层后的速度为v 3=k 3
第二次在磁场中做圆周运动半径为R2=
x=2R1+2R2=（ 2 k+2 k 3）
答：（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径为
．（2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标y1=k4y
（3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间为（1+2 k2）
+．（4）P 点横坐标 x与纵坐标 y应满足的关系为：x=（ 2 k+2 k 3）
．点评：本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，关键知道粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做匀变速直线运动，运用牛顿第二定律结合运动学公式进行求解．
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