题目内容
如图所示，在直角坐标xOy平面y轴左侧（含y轴）有一沿y轴负向的匀强电场，一质量为m，电量为q的带正电粒子从x轴上P处以速度v0沿x轴正向进入电场，从y轴上Q点离开电场时速度方向与y轴负向夹角θ=30°，Q点坐标为（0，-d），在y轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域（图中未画出），磁场磁感应强度大小B=| mv0 | qd |
（1）电场强度大小E；
（2）如果有界匀强磁场区域为半圆形，求磁场区域的最小面积；
（3）粒子从P点运动到O点的总时间．
分析：（1）由粒子进入磁场速度为2v0，由几何关系可得角度关系．带电粒子进入匀强电场后，受重力和电场力，由动能定理可得电场强度．
（2）由运动轨迹图，可以找出磁场边长的最小值，可得最小面积．
（3）进入磁场后在洛伦兹力作用下做圆周运动，由左手定则可以判定受力，进而确定其转动方向，作图可得运动轨迹，由运动轨迹的几何关系可得圆心角，进而得到圆周运动的时间，QM段粒子做匀速运动可得此段的时间，相加得总时间．
（2）由运动轨迹图，可以找出磁场边长的最小值，可得最小面积．
（3）进入磁场后在洛伦兹力作用下做圆周运动，由左手定则可以判定受力，进而确定其转动方向，作图可得运动轨迹，由运动轨迹的几何关系可得圆心角，进而得到圆周运动的时间，QM段粒子做匀速运动可得此段的时间，相加得总时间．
解答：
解：（1）设粒子从Q点离开电场时速度大小为v，由粒子在匀强电场中做类平抛运动得：
v=2v0
由动能定理得：qEd=
mv2-
m
解得：E=
（2）设粒子从N点进入、N点离开半圆形匀强磁场区域粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为r，圆心为O1，如图所示
由qvB=
解得：r=
=2d
若半圆形磁场区域的面积最小，则半圆形磁场区域的圆心为O2，
可得半径R=1.5r=2d
半圆形磁场区域的最小面积S=
πR2=
πd2=4.5πd2
（3）设粒子在匀强电场中运动时间为t1，粒子从Q点离开电场时沿y轴负向速度大小为vy，
有vy=
v0，t1=
解得：t1=
设粒子在磁场中做匀速圆周运动时间为t2，有t2=
=
粒子在QM、NO间做匀速直线运动时间分别为t3、t4，
由几何关系可得QM距离
=
，得：t3=
=
NO间距离
=
得：t4=
=
粒子从P点运动到O点的总时间为：
t=t1+t2+t3+t4=
+
+
+
=
答：
（1）电场强度大小E为
；
（2）如果有界匀强磁场区域为半圆形，磁场区域的最小面积为4.5πd2；
（3）粒子从P点运动到O点的总时间为
．
解：（1）设粒子从Q点离开电场时速度大小为v，由粒子在匀强电场中做类平抛运动得：v=2v0
由动能定理得：qEd=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
解得：E=
3m
| ||
| 2qd |
（2）设粒子从N点进入、N点离开半圆形匀强磁场区域粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为r，圆心为O1，如图所示
由qvB=
| mv2 |
| r |
解得：r=
| mv |
| qB |
若半圆形磁场区域的面积最小，则半圆形磁场区域的圆心为O2，
可得半径R=1.5r=2d
半圆形磁场区域的最小面积S=
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
（3）设粒子在匀强电场中运动时间为t1，粒子从Q点离开电场时沿y轴负向速度大小为vy，
有vy=
| 3 |
| 2d |
| vy |
解得：t1=
2
| ||
| 3v0 |
设粒子在磁场中做匀速圆周运动时间为t2，有t2=
| 4πr |
| 3v |
| 4πd |
| 3v0 |
粒子在QM、NO间做匀速直线运动时间分别为t3、t4，
由几何关系可得QM距离
. |
| QM |
4
| ||
| 3 |
| ||
| v |
2
| ||
| 3v0 |
NO间距离
. |
| NO |
5
| ||
| 3 |
| ||
| v |
5
| ||
| 6v0 |
粒子从P点运动到O点的总时间为：
t=t1+t2+t3+t4=
2
| ||
| 3v0 |
| 4πd |
| 3v0 |
2
| ||
| 3v0 |
5
| ||
| 6v0 |
(13
| ||
| 6v0 |
答：
（1）电场强度大小E为
3m
| ||
| 2qd |
（2）如果有界匀强磁场区域为半圆形，磁场区域的最小面积为4.5πd2；
（3）粒子从P点运动到O点的总时间为
(13
| ||
| 6v0 |
点评：本题考查了带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．
练习册系列答案
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