题目内容
中国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施：首先在2007年发射环绕月球的卫星“嫦娥一号”，深入了解月球；到2012年发射月球探测器，在月球上进行实地探测；到2017年送机器人上月球，建立观测站，实地实验采样并返回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船登陆月球，在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只，B．弹簧秤一把，C．已知质量为m的物体一个，D．天平一只（附砝码一盒）．宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船在月球上着陆后，宇航员利用所带的仪器又进行了第二次测量，并利用测量结果计算出了月球的半径和质量．若已知万有引力常量为G，则：
（1）说明宇航员是如何进行第二次测量的？
（2）利用宇航员测量的量（用符号表示）来求月球的半径和质量．
（1）说明宇航员是如何进行第二次测量的？
（2）利用宇航员测量的量（用符号表示）来求月球的半径和质量．
分析：1、宇航员利用所带的仪器又进行了第二次测量，是用用弹簧秤竖直悬挂物体m，静止时读出弹簧秤的读数F，这个值为物体在月球上所受重力的大小，这样可以求出月球表面的重力加速度．
2、在月球表面的物体受到的重力等于万有引力G
=m′g月，得g月=
，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力可知G
=m″R
，结合测得的重力加速度，以及周期T=
，就可计算出月球的半径R和质量M．
2、在月球表面的物体受到的重力等于万有引力G
| Mm′ |
| R2 |
| GM |
| R2 |
| Mm″ |
| R2 |
| 4π2 |
| T2 |
| t |
| N |
解答：解：（1）宇航员在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体m，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）在月球上忽略月球的自转可知 mg月=F，得g月=
．
因为在月球表面的物体受到的重力等于万有引力G
=m′g月，得g月=
所以
=
．
物体在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力可知G
=m″R
所以
=R
得R=
又 T=
，
解得R=
．
因为
=
所以M=
，把R的值代入得
M=
答：（1）宇航员在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）月球的半径为
，月球的质量为
．
（2）在月球上忽略月球的自转可知 mg月=F，得g月=
| F |
| m |
因为在月球表面的物体受到的重力等于万有引力G
| Mm′ |
| R2 |
| GM |
| R2 |
所以
| GM |
| R2 |
| F |
| m |
物体在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力可知G
| Mm″ |
| R2 |
| 4π2 |
| T2 |
所以
| F |
| m |
| 4π2 |
| T2 |
得R=
| FT2 |
| 4π2m |
又 T=
| t |
| N |
解得R=
| Ft2 |
| 4π2N2m |
因为
| GM |
| R2 |
| F |
| m |
所以M=
| FR2 |
| Gm |
M=
| F3t4 |
| 16π4GN4m3 |
答：（1）宇航员在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）月球的半径为
| Ft2 |
| 4π2N2m |
| F3t4 |
| 16π4GN4m3 |
点评：解决有关天体运动的问题，一定要知道两个关系；1、星球表面的物体受到的重力等于万有引力；1、某一天体绕另一天体做圆周运动所需要的向心力由万有引力提供．
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