Question

中国探月工程二期的技术先导星“嫦娥二号”，2010年10月1日18时59分57秒在在西昌卫星发射中心由“长征三号丙”运载火箭发射升空．北京时间6日11时6分，在北京航天飞行控制中心的精确控制下，嫦娥二号卫星成功实施第一次近月制动，32分钟后，卫星顺利进入周期约12小时的椭圆环月轨道．“这极大地提高了同学们的爱国热情及对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动．试求出月球绕地球运动的轨道半径．
（2）中国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，而作为探月工程的第二步，目前落月工程的研发建设工作也已启动，计划在2013年前完成．若我国某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v₀水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为s．已知月球半径为R_月，万有引力常量为G．试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球绕地球的运动时，由地球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律列出月球的轨道半径与地球质量等物理量的关系式；物体在地球表面上时，由重力等于地球的万有引力求出地球的质量，再求出月球的轨道半径．
（2）小球在在月球某水平表面上方h高处以速度v₀水平抛出一个小球，求出月球表面的重力加速度，根据重力等于万有引力求出月球的质量M_月．

解答：解：（1）研究月球绕地球的运动，根据万有引力定律和向心力公式：
   

GMM月

r2

=

M月?4π2r

T2

  ①
物体在地球表面上时，由重力等于地球的万有引力得：
   mg=

GM m

R2

         ②
由①②解得：r=

3	gR2T2 4π2

（2）设月球表面处的重力加速度为g_月，小球在在月球某水平表面上方h高处以速度v₀水平抛出一个小球，
根据平抛运动得：
水平方向：水平距离s=v₀t  ③
竖直方向：h=

1

2

g_月t^{2 ④}
物体在月球表面上时，由重力等于月球的万有引力得：
mg_月=

GM月m

R 2 月

        ⑤
由③④⑤得：M_月=

2 hv 2 0 R 2 月

Gs2

    
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径是

3	gR2T2 4π2

．
（2）月球的质量是

2 hv 2 0 R 2 月

Gs2

．

点评：本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．