Question

19．如图所示，ABC为一透明材料制成的柱形光学元件的横截面，该种材料的折射率n=$\sqrt{3}$，AC是一半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧，O为圆弧面圆心，ABCO构成正方形，在O处有一点光源，从点光源射入圆弧AC的光线，进入透明材料后首次射向AB或BC界面直接射出．下面的问题只研究进入透明材料后首次射向AB或BC界面的光线，已知AB面上的P点到A点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．求：
（1）从P点射出的光线的折射角；
（2）AB和BC截面上没有光线射出部分的总长度．

Answer 1

分析 （1）根据数学知识求出射到P点的光线的入射角，再由折射定律求折射角．
（2）设材料的临界角为C，射向M点的光线恰好发生全反射，根据sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，再结合几何知识求解．

解答 解：（1）设射向P点的光线入射角为θ₁，由几何关系有：θ₁=∠AOP=30°
根据折射定律有：$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$=$\frac{1}{n}$
解得：θ₂=60°
（2）设材料的临界角为C，射向M点的光线恰好发生全反射，则有：sinC=$\frac{1}{n}$
AB截面没有光线射出部分的长度为：BM=（1-tanC）=（1-$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$）R
根据对称性知，两截面上没有光线射出部分的总长度为：l=2（1-$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$）R
代入解得：l=（2-$\sqrt{2}$）R或0.59R
答：（1）从P点射出的光线的折射角是60°；
（2）AB和BC截面上没有光线射出部分的总长度是0.59R．

点评 解决本题关键是掌握全反射的条件和临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，结合几何知识进行求解．