Question

13．如图，直角三角形 abc 内有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场强度的大小为B，∠a=30°，ac=2L，P 为 ac 的中点．在 P 点有一粒子源可沿平行 cb 方向发出动能不同的同种正粒子，粒子的电荷量为 q、质量为 m，且粒子动能最大时，恰好垂直打在 ab 上．不考虑重力，下列判断正确的是（　　）

• A． 粒子动能的最大值为$\frac{{q}^{2}{b}^{2}{L}^{2}}{m}$
• B． ab 上可能被粒子打中区域的长度为$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$L
• C． 粒子在磁场中运动的最长时间$\frac{πm}{6qB}$
• D． ac 上可能被粒子打中区域的长度为$\frac{1}{3}$L

Answer 1

分析 从P点沿cb方向即垂直于ac方向发出的动能最大的粒子其速度也最大，恰好垂直打在ab上，由几何关系求出最大速度对应的半径，从而可以求出最大动能，至于打在ab上的最长距离，确定打在ab上的最小速度对应的半径，即与ab恰好相切，最大速度与最小速度的粒子打在ab上的距离由由几何关系就能求出来．至于运动的最长时间当然是打在ac上的粒子，当速度比上述速度更小时将打在ac上，从该点到P点的距离就是打在ac上的范围．

解答 解：画出速度最大和打在ab上速度最小的轨迹如图所示，半径分别为r₁和r₂，由题意和几何关系知道：r₁=aP=ae=L，由于打在ab上速度最小的粒子的轨迹与ab相切于f点，由几何关系其对就的半径为：r₂=$\frac{1}{3}aP$=$\frac{1}{3}L$．
A、最大动能对应最大的半径r₂，由半径公式求得最大速度为：v₂=$\frac{qBr}{m}=\frac{qBL}{m}$，最大动能E_k=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$，所以选项A错误．
B、打在ab上速度最小的粒子的轨迹恰与ab相切于f点，由几何关系知af=$\sqrt{3}{r}_{2}=\frac{\sqrt{3}L}{3}$，则打在ab上的范围为ae-af=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}L$，所以选项B正确．
C、显然最长时间是打在ac上的粒子，其轨迹为半圆，时间为$\frac{1}{2}T=\frac{πm}{qB}$，所以选项C错误．
D、如图，当速度比v₂更小时，粒子将打在ac上，其范围为Pg=2r₂=$\frac{2}{3}L$，所以选项D错误．
故选：B

点评 本题是动态的思想去思考问题，由于入射方向确定，可以想象当速度越大时，半径越大，则越靠上，运动时间越短．据此画出打在ab上的两个粒子的轨迹，由几何关系求出对应的半径，及对应的速度，从而可以判定粒子打在ab和ac上的范围和运动最长时间和最短时间．