Question

6．如图所示，遥控电动赛车（可视为质点）从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定的圆形光滑过山车轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上．已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到的阻力恒为车重的0.5倍，赛车的质量m=0.4kg，通电后赛车的电动机以额定功率P=2W工作，轨道AB的长度L=2m，圆形轨道的半径R=0.5m，空气阻力可以忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又要在CD轨道上运动的路程最短．在此条件下，求：
（1）赛车过P点时，不脱离轨道的最小速度V_p；
（2）赛车在CD轨道上运动的最短路程x；
（3）赛车电动机工作的时间t．

Answer 1

分析 （1）赛车在电动机牵引力作用下从静止开始加速运动，之后关闭发动机滑行，正好能在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD轨道上运动的路程最短．因此利用车恰能通过轨道最高来求出P点速度；
（2）（3）根据机械能守恒定律，求出进入轨道C点的最小速度，从而由动能定理来求出CD轨道上运动的最短路程，同时再由动能定理来求出赛车电动机工作的时间．

解答 解：（1）要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD轨道上运动的路程最短，则赛车经过圆轨道P点时速度最小，此时赛车对轨道的压力为零，重力提供向心力：
mg=m$\frac{{V}_{p}}{R}$  
V_p=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s 
（2）赛车在C点的速度为v_C，由机械能守恒定律可得：
mg•2R+$\frac{1}{2}$mV${\;}_{P}^{2}$=$\frac{1}{2}$mV${\;}_{c}^{2}$ 
由上述两式联立，代入数据可得：
v_C=5 m/s 
设赛车在CD轨道上运动的最短路程为x，由动能定理可得：-kmgx=0-$\frac{1}{2}$mV${\;}_{C}^{2}$
代入数据可得：x=2.5 m  
（3）由于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知：
v_B=v_C=5 m/s  
从A点到B点的运动过程中，由能量守恒定律可得：
P_t=kmgL+$\frac{1}{2}$mV${\;}_{B}^{2}$
代入数据可得：t=4.5 s 
答：（1）赛车过P点时，不脱离轨道的最小速度V_p为$\sqrt{5}$m/s；
（2）赛车在CD轨道上运动的最短路程x为2.5m；
（3）赛车电动机工作的时间t为4.5s．

点评 本题突破口是小车恰能通过最高点时，就是小车在CD轨道上运动的最短路程．同时对动能定理，机械能守恒定律理解．