Question

14．如图所示，在xOy平面内，直线MN和y轴之间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅳ象限和第I象限的射线OC右下区域存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为B．有一质量为m，带电量为+q的带电粒子从电场左边界上的A点沿x轴正方向射入电场，A点与原点O的距离为2L，质点经y轴上的P点进入磁场，P点与原点O的距离为L．带电粒子从P点进入磁场后又从磁场边界OC上的Q点离开磁场（Q点未标出），并从y轴上的D点垂直于y轴再次进入电场．不计带电粒子的重力，求：
（1）带电粒子从A点进入电场时的初速度v₀；
（2）粒子由A点到D点运动所用的时间；
（3）O点到D点的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子的初速度．
（2）求出粒子在电场、磁场、离开电场后的运动时间，然后求出总的运动时间．
（3）作出粒子的运动轨迹，然后应用几何知识求出距离．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：2L=v₀t₁，
竖直方向：L=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₁²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：2L=v₀t₁，
竖直方向：L=$\frac{{v}_{y}}{2}$t₁，
解得：v_y=v₀，粒子进入磁场时的速度：v=$\sqrt{2}$v₀，
粒子进入磁场时粒子速度方向与y轴负方向夹角：
tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=1，解得：θ=45°，
粒子在磁场中转过的圆心角：
α=360°-（180°-θ）=360°-（180°-45°）=225°，
粒子在磁场中的运动时间：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{135°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{4qB}$，
粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$，
粒子离开磁场到达D点需要的时间：t₃=$\frac{QD}{v}$=$\frac{rsin45°}{v}$=$\frac{\sqrt{2}m}{2qB}$，
粒子由A到D的运动时间：t=t₁+t₂+t₃=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{5πm+2\sqrt{2}m}{4qB}$；
（3）由几何关系可知：OD+OP=r+rcos45°，
解得：OD=$\frac{2+\sqrt{2}}{B}$$\sqrt{\frac{mEL}{q}}$-L；
答：（1）带电粒子从A点进入电场时的初速度v₀为$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）粒子由A点到D点运动所用的时间为$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{5πm+2\sqrt{2}m}{4qB}$；
（3）O点到D点的距离：$\frac{2+\sqrt{2}}{B}$$\sqrt{\frac{mEL}{q}}$-L．

点评 解决质点在磁场中的运动问题，关键是找到轨迹，定出圆心，构造三角形得到半径表达式，然后结合半径公式和周期公式解决．