题目内容
【题目】如图所示为某种弹射装置的示意图，该装置由三部分组成，传送带左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接质量 M=6.0kg 的物块 A，物块 A 静止在水平面上．装置的中间部分是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接．传送带以 u=2.0m/s 逆时针匀速运动．传送带的右边是一个半径 R=1.25m 位于竖直平面内的光滑
圆弧轨道．某时刻起将一个质量m=2.0kg的物块B从圆弧的最高处由静止释放．已知物块 B 与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1，传送带两轴之间的距离l=4.5m，物块 B 与 A 发生的碰撞为弹性碰撞．取g=10m/s2．求：
(1)物块 B 与物块 A 第一次碰撞后弹簧的最大弹性势能；
(2)如果物块 A、B 每次碰撞后，物块 A 再回到平衡位置时弹簧都会被立即锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解除，求物块 B 从第1次与物块 A 碰撞结束后，到第 5 次与物块A碰撞前,物块B一共在传送带上运动了多长时间．
【答案】（1）12J；（2）7.5s
【解析】
（1）设物块 B 沿光滑曲面下滑到水平位置时的速度大小为 v0，
由机械能守恒定律得：
①
解得：
在传送带上，对物块 B，由牛顿第二定律得：
μmg=ma ②
设物块 B 通过传送带后运动速度大小为 v，有：
③
联立解得：
由于 v＞u=2m/s，所以 v=4m/s 即为物块 B 与物块 A 第一次碰撞前的速度大小， 设物块 A、B 第一次碰撞后的速度分别为 v2、v1，以向左为正方向， 由动量守恒定律得：
mv=mv1+Mv2 ④
由机械能守恒定律得：
⑤
联立解得
v1 2m / s ，v2 2m / s
物块 A 的速度为零时弹簧压缩量最大，弹簧弹性势能最大，由能量守恒定律得：
（2）碰撞后物块 B 沿水平台面向右匀速运动，设物块 B 在传送带上向右运动的最大位移为 l′，由动能定理得：
⑥
解得：
l′=2m＜4.5m
所以物块B不能通过传送带运动到右边的曲面上。当物块B在传送带上向右运动的速度为零后，将会沿传送带向左加速运动。
可以判断，物块B运动到左边台面时的速度大小为
，
继而与物块A发生第二次碰撞。设第1次碰撞到第2次碰撞之间，物块B在传送带运动的时间为t1。
由动量定理得：
，
解得：
，
设物块A、B第一次碰撞后的速度分别为v4、v3，取向左为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律得：
，
，
代入数据解得：
，
当物块B在传送带上向右运动的速度为零后，将会沿传送带向左加速运动。
可以判断，物块B运动到左边台面时的速度大小为
，继而与物块A发生第2次碰撞。
则第2次碰撞到第3次碰撞之间，物块B在传送带运动的时间为t2。由动量定理得：
解得：
，
同上计算可知：物块B与物块A第三次碰撞、第四次碰撞……
第n次碰撞后物块B在传送带运动的时间为：
，
构成无穷等比数列，公比：
，
由无穷等比数列求和公式：
可知，
物块B经第一次与物块A碰撞后到第 5 次与物块A碰撞前，物块B一共在传送带上运动的时间为：
。
