Question

4．如图所示，在光滑的水平面上有一质量为M₁=1kg的长木板B，在其由右端放有一质量m=4kg小物块A（可视为质点），它们以共同速度v₀=5m/s向右运动，并与静止质量为M₂=4kg的长木板C（C与B等高）发生弹性碰撞，已知C的右端与竖直挡板的距离为$\frac{9}{8}m$，并且C与竖直挡板每次碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失，认为上述过程中C板足够长，A始终没有与竖直挡板碰撞，A、C间的动摩擦因数μ=0.1，g取10m/s²，求：
（1）B与C刚碰完时，B、C的速度各是多少？
（2）求长木板C至少为多长才能保证A不滑落，及最终长木板C右端距竖直挡板距离为多少？

Answer 1

分析 （1）B、C发生弹性碰撞，结合动量守恒和机械能守恒求出B与C碰完时B、C的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出A在C上滑行时，A、C的速度，求出C与竖直挡板碰撞的时间，得出碰撞前A、C的速度，根据动量守恒定律求出第一次碰撞后共速的速度大小，再根据动量守恒得出第二次碰撞后的速度为零，结合能量守恒求出长木板的最小长度，根据动能定理求出最终长木板C右端距竖直挡板距离．

解答 解：（1）B、C发生碰撞，动量守恒，机械能守恒，
规定向右为正方向，根据动量守恒有：M₁v₀=M₁v₁+M₂v₂，
根据机械能守恒有：$\frac{1}{2}{M_1}v_0^2=\frac{1}{2}{M_1}v_1^2+\frac{1}{2}{M_2}v_2^2$，
代入数据解得v₁=-3m/s，v₂=2m/s．
（2）之后A、C发生相对滑动，C匀加速到竖直挡板：
${a}_{1}=\frac{μmg}{{M}_{2}}=\frac{0.1×40}{4}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
根据$S={v_2}t+\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$得，代入数据解得t=0.5s，
此时C的速度为   v₂′=v₂+a₁t=2+1×0.5m/s=2.5m/s．
A匀减速${a}_{2}=\frac{μmg}{m}=μg=1m/{s}^{2}$，
此时A的速度为  v₀′=v₀-a₂t=5-1×0.5m/s=4.5m/s，
C与挡板第一次碰到共速，规定向右为正方向，由动量守恒定律有  $m{v_0}^′-{M_2}{v_2}^′=（{M_2}+m）{v_共}$，
代入数据解得v_共=1m/s，
故C第二次与挡板碰撞到A、C相对静止，由动量守恒定律有mv_共-M₂v_共=0，
对系统由功能关系得：$μmgL=\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}{M_2}v_2^2$
代入数据解得  L=14.5m           
由C第二次与挡板碰撞到静止，动能定理有  $μmg{S_2}=\frac{1}{2}{M_2}v_共^2$
代入数据解得  S₂=0.5m．
答：（1）B与C刚碰完时，B、C的速度各是-3m/s、2m/s．
（2）长木板C至少为14.5m才能保证A不滑落，最终长木板C右端距竖直挡板距离为0.5m．

点评 本题考查了动量守恒和能量守恒、牛顿第二定律、运动学公式的综合运用，关键理清A和C在整个过程中的运动规律，选择合适的规律进行求解．知道弹性碰撞动量守恒、机械能守恒．