Question

16．如图所示，一块质量为M、长为L的匀质板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的小物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮．现某人以恒定的速度v向下拉绳，物块随细绳运动，恰到达板的中点后相对板静止；取g=10m/s²，且所有过程板的右端均未撞上桌边定滑轮，求：

（1）从开始拉绳起计时，物块到达板的中点经历的时间t₀；
（2）物块与板间的动摩擦因数μ₀；
（3）若板与桌面间有摩擦，为使物块能到达板的右端，板与桌面的动摩擦因数μ的范围．

Answer 1

分析 （1）板与物块都向右做初速度为零的匀加速运动，当两者速度相等时，木块与板相对静止，由平均速度公式求出板的平均速度；由运动学公式求出时间；
（2）由牛顿第二定律求出物体与板间的动摩擦因数；
（3）对板与物块进行受力分析，由牛顿第二定律求出 加速度，由运动学公式求出位移，然后根据两者间位移的几何关系分析答题．

解答 解：（1）设在此过程中物块前进位移为S₁，板前进位移为S₂，则S₁=vt₀…①
${S_2}=\frac{v}{2}{t_0}$…②
${S_1}-{S_2}=\frac{L}{2}$…③
由①②③得：${t_0}=\frac{L}{v}$
（2）根据牛顿第二定律，对板有：μ₀mg=Ma…④
而$a=\frac{△v}{△t}$…⑤
由⑤得$a=\frac{v^2}{L}$…⑥
解得：${μ_0}=\frac{Ma}{mg}=\frac{{M{v^2}}}{mgL}$
（3）①设经过时间t，物块恰到达板的右端并与之共速，此时物块匀速前进位移为X₁，板匀加速前进位移为X₂，则X₁=vt，${X_2}=\frac{v}{2}t$，
且据位移关系有：$vt-\frac{v}{2}t=L$…⑨
设此过程板与桌面间的动摩擦因数为μ₁，对板有μ₀mg-μ₁（M+m）g=Ma'…⑩
又由运动学规律v=a't
联立⑨⑩解得${μ_1}=\frac{{M{v^2}}}{2（m+M）gL}$
②当地面最大静摩擦力大于物块对板的摩擦力，板不动，物块也可到达板的右端，即有μ₀mg＜μ₂（M+m）g
可得${μ_2}＞\frac{{M{v^2}}}{（m+M）gL}$而$\frac{{M{v^2}}}{（m+M）gL}＞\frac{{M{v^2}}}{2（m+M）gL}$
故综上可得，为使物块能到达板的右端，板与桌面的动摩擦因数μ的范围应为$μ≥\frac{{M{v^2}}}{2（m+M）gL}$
答：（1）从开始拉绳起计时，物块到达板的中点经历的时间是$\frac{L}{v}$；
（2）物块与板间的动摩擦因数是$\frac{M{v}^{2}}{mgL}$；
（3）若板与桌面间有摩擦，为使物块能到达板的右端，板与桌面的动摩擦因数μ的范围$μ≥\frac{{M{v^2}}}{2（m+M）gL}$．

点评 该题为多物体多过程的题目，对运动的过程运动要分析透彻．分析求出物体运动过程，应用牛顿第二定律、运动学公式、即可正确解题．