Question

已知某球形天体的密度为ρ₀，引力常量为G．
（1）证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关（球的体积公式为V=

4

3

πR³，其中R为球半径）
（2）若球形天体的半径为R，自转的角速度ω₀₌

RGρ0

2

，表面周围空间充满厚度d=

R

2

（小于同步卫星距天体表面的高度）．密度ρ=

4ρ0

19

的均匀介质，试求同步卫星距天体表面的高度．

Answer 1

分析：（1）由万有引力充当向心力的周期公式，和质量=密度×体积，可以得到周期与半径的关系
（2）计算出来天体及周围介质的质量，进而由万有引力可以得到高度．

解答：解：
（1）证明：由万有引力定律得：
G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
又：M=ρ0

4

3

πR3
解得：
T2=

3π

Gρ0

故T与R无关
（2）把天体和周围空间介质看成一个球体，其质量为M，则
M=ρ0

4

3

πR3+

4

3

π(R+

R

2

)3-

4

3

πR3×

4

19

ρ0=ρ02πR3
再由万有引力定律得：

Gmρ02πR3

(R+h)3

=m（R+h）ω₀²
解得：h=R
答：
（1）由T2=

3π

Gρ0

，可知，T与R无关
（2）同步卫星距天体表面的高度为R

点评：本题繁琐点在于求天体及周围介质的质量，只要正确求出质量，就可以很容易得到同步卫星高度．