如图所示.AB.CD.PS.MN各边界相互平行.OO′垂直边界且与PS和MN分别相交于G和O′点.AB.CD.CD.PS和PS.MN的间距分别为2L.3L和$\frac{9}{4}$L．AB.CD间存在平行边界的匀强电场.CD.PS间无电场.PS.MN间存在固定在O′点的负点电荷Q形成的电场区域．带正电的粒子以初速度v0从O点沿直线OO′飞入电场.粒子飞出AB.CD间的电场后经� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图所示，AB、CD、PS、MN各边界相互平行，OO′垂直边界且与PS和MN分别相交于G和O′点，AB、CD、CD、PS和PS、MN的间距分别为2L、3L和$\frac{9}{4}$L．AB、CD间存在平行边界的匀强电场，CD、PS间无电场，PS、MN间存在固定在O′点的负点电荷Q形成的电场区域．带正电的粒子以初速度v₀从O点沿直线OO′飞入电场，粒子飞出AB、CD间的电场后经过CD、PS间的无电场区域后，进入PS、MN间，最后打在MN上．已知匀强电场的电场强度E与粒子质量m、电荷量q的关系为E=$\frac{3mv_0^3}{8qL}$，负点电荷的电荷量Q=-$\frac{{125E{L^2}}}{8k}$（k为静电
力常数），PS、MN间的电场分布不受边界的影响，不计粒子的重力，求：
（1）粒子到达PS界面时的速度和偏转的距离；
（2）粒子到达MN上时与O′点的距离．

分析（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式，抓住等时性求出粒子离开电场时的速度，即到达PS面的速度，在场区做匀速直线运动，根据在偏转电场中的偏转位移以及在无场区竖直方向上的位移求出偏转距离．
（2）带电粒子到达PS界面处F点的速度与OO′成θ角，设O′F与OO′的夹角为φ，抓住粒子受库仑引力提供向心力，根据几何关系，通过转动的半径求出粒子到达MN时与O′距离．

解答解：（1）粒子穿过界面CD时偏转的距离为y，
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
2L=v₀t，
加速度a=$\frac{qE}{m}$，
则粒子穿过界面CD时沿电场方向的速度：v_y=at，
粒子穿过界面CD时速度方向与OO′成θ角，则tan$θ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
代入数据解得tanθ=$\frac{3}{4}$，
速度的大小v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$，代入数据解得$v=\frac{5}{4}{v}_{0}$，
带电粒子离开电场后在CD、PS间做匀速直线运动，到达PS时速度与CD时相同，设在PS间运动的时间为t′，其轨迹与PS边界交于F，设F到G的距离为Y，
3L=v₀t′，Y=y+v_yt′，
解得Y=3L．
（2）带电粒子到达PS界面处F点的速度与OO′成θ角，设O′F与OO′的夹角为φ，
tanφ=$\frac{Y}{GO′}=\frac{4}{3}$，
θ+φ=90°，可知v与O′F垂直．
O′F=$\sqrt{{Y}^{2}+GO{′}^{2}}=\frac{15}{4}L$，
粒子在F点受到的静电力为${F}_{电}=k\frac{qQ}{O′{F}^{2}}$，
粒子绕A做圆转运到需要的向心力为：${F}_{向}=m\frac{{v}^{2}}{O′F}={F}_{电}$，
所以粒子绕O′点做匀速圆周运动，粒子到达MN时与O′距离为Y′，
$Y′=O′F=\frac{15}{4}L$．
答：（1）粒子到达PS界面时的速度和偏转的距离为3L；
（2）粒子到达MN上时与O′点的距离为$\frac{15}{4}L$．