题目内容

19．如图所示，是采砂场装运河砂的示意图，砂子通过砂斗滑落到水平传送带上，最终与传送带一起做匀速运动，到达右端主动轮轴正上方的A点时，恰好水平抛出并落在下面的货车车箱中心．已知传送带长l=10m，砂子与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，传送带与货车底板间的高度差为h=1.8m，传送带的主动轮和从动轮半径R=0.4m，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）传送带的速度v及主动轮轴与货车车箱中心的水平距离x；
（2）砂子在平直传送带上运动的时间t；
（3）砂斗以20kg/s的流量向传送带上装砂子，为了保持传送带速率不变，驱动传送带的电动机因此应增加的功率是多少？

分析 （1）砂子到达A点时，恰好水平抛出，在A点，传送带对砂子没有支持力，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求v．根据平抛运动的规律求水平距离x．
（2）砂子在传送带先做匀加速运动，后做匀速运动．先由牛顿第二定律求得加速度，由速度公式求匀加速运动的时间，并求得匀加速运动的位移，得到匀速运动的位移，从而求得匀速运动的时间，即可求得总时间t．
（3）传送带需要增加的能量分为两部分：第一部分为砂子获得的动能，第二部分为摩擦产生的热量．根据能量守恒定律求出增加的能量，从而得出增加的功率．

解答 解：（1）据题，在A点，有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则得 v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
砂子平抛过程，有
   h=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$
   x=vt′
联立解得 x=1.2m
（2）砂子匀加速运动的加速度 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s2；
匀加速运动的时间 t1=$\frac{v}{a}$=$\frac{2}{5}$=0.4s
匀加速运动的位移 x1=$\frac{v{t}_{1}}{2}$=$\frac{2×0.4}{2}$m=0.4m
匀速运动的时间 t2=$\frac{l-{x}_{1}}{v}$=$\frac{10-0.4}{2}$=4.8s
故砂子在平直传送带上运动的时间 t=t1+t2=5.2s
（3）砂子相对传送带运动时，砂子与相对运动的位移大小为：
△x=vt1-x1=$\frac{v{t}_{1}}{2}$=$\frac{2×0.4}{2}$m=0.4m
根据动能定理知：fx1=$\frac{1}{2}△m{v}^{2}$
产生的热量为：Q=f△x=fx1=$\frac{1}{2}$△mv2；
根据能量守恒定律得，增加的能量为：△E=Q+$\frac{1}{2}$△mv2=△mv2．
则驱动传送带的电动机增加的功率为：△P=$\frac{△E}{△t}$=$\frac{△m{v}^{2}}{△t}$=20×22W=80W．
答：
（1）传送带的速度v是2m/s，主动轮轴与货车车箱中心的水平距离x是1.2m；
（2）砂子在平直传送带上运动的时间t是5.2m；
（3）为了保持传送带速率不变，驱动传送带的电动机因此应增加的功率是80W．

点评 解决本题的关键要分析清楚砂子的运动过程和运动规律，要知道电动机增加的能量等于摩擦产生的热量和砂子获得的动能之和．

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