题目内容
（2012?杨浦区一模）如图所示，一根长为三的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma和mb，杆可绕距a球为L/4处的水平定轴D在竖直平面内转动，初始时杆处于竖直位置，小球b几乎接触桌面，在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦，求：（1）在细杆转动过程中a、b两小球速度大小的关系．
（2）当细杆转过口角时小球6速度大小与立方体物块速度大小的关系．
（3）若ma=3mb=m，当细杆转过30°角时小球b速度的大小．
分析：（1）（2）由v=ωR可得出两球速度关系，再由运动的分解，找出球b与立方体的速度关系．
（3）由题意可知，在恒力的作用下，球a、b及立方体从静止到运动，由于球b与立方体间无摩擦力，所以它们的机械能增量均由恒力做功导致，故由功能关系列式，并结合共轴下球a、b角速度相同，从而列式求解．
（3）由题意可知，在恒力的作用下，球a、b及立方体从静止到运动，由于球b与立方体间无摩擦力，所以它们的机械能增量均由恒力做功导致，故由功能关系列式，并结合共轴下球a、b角速度相同，从而列式求解．
解答：
解：
（1）由b球与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0．因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量．现用va表示此a球速度的大小，因a、b角速度相同，oa=
l，ob=
l，
所以得 va=
vb… ①
（2）如图所示，vb表示a球转α角b球瞬时速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，
则有vbcosα=v…②
（3）根据功能原理可知
F?
sinα=
ma
-mag（
-
cosα）+
mb
+mbg（
l-
lcosα）+
mv2…③
将①、②式及条件ma=3mb=m代入③可得
F?
lsinα=
ma(
vb)2-mag?
l（1-cosα）+
mb
+mbg?
（1-cosα）+
m（vbcosα）2
解得：vb=3
答：
（1）在细杆转动过程中a、b两小球速度大小的关系为 va=
vb．
（2）当细杆转过口角时小球6速度大小与立方体物块速度大小的关系为vbcosα=v．
（3）若ma=3mb=m，当细杆转过30°角时小球b速度的大小．当a转过α角时，小球b速度的大小为3
．
解：（1）由b球与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0．因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量．现用va表示此a球速度的大小，因a、b角速度相同，oa=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
所以得 va=
| 1 |
| 3 |
（2）如图所示，vb表示a球转α角b球瞬时速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，
则有vbcosα=v…②
（3）根据功能原理可知
F?
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 a |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 b |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
将①、②式及条件ma=3mb=m代入③可得
F?
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 b |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
解得：vb=3
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答：
（1）在细杆转动过程中a、b两小球速度大小的关系为 va=
| 1 |
| 3 |
（2）当细杆转过口角时小球6速度大小与立方体物块速度大小的关系为vbcosα=v．
（3）若ma=3mb=m，当细杆转过30°角时小球b速度的大小．当a转过α角时，小球b速度的大小为3
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点评：本题考查在共轴下，速度与半径成正比，同时运用速度的分解，求出立方体的速度．关键在于球b与立方体无摩擦力，使得恒力做功导致两球与立方体的动能增加，这是题目的突破口．让学生掌握功能关系并能理解．
练习册系列答案
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