题目内容
如图，在坐标系xoy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xoy面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E．一质量为m、带电量为+q的粒子自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场．已知OP=d，OQ=2d，不计粒子重力．（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向．
（2）若磁感应强度的大小为一定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；
（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间．
分析：（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀加速直线运动，抓住等时性，结合平行四边形定则求出粒子到达Q点的速度大小和方向．
（2）作出运动的轨迹图，结合几何关系求出粒子在磁场中匀速圆周运动的轨道半径，根据洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）作出运动的轨迹图，根据粒子的速度以及在无磁场区和有磁场区运行的路程求出运动的时间．
（2）作出运动的轨迹图，结合几何关系求出粒子在磁场中匀速圆周运动的轨道半径，根据洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）作出运动的轨迹图，根据粒子的速度以及在无磁场区和有磁场区运行的路程求出运动的时间．
解答：解：（1）设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿第二定律得qE=ma ①
由运动学公式得d=
a
②
2d=v0t0 ③
vy=at0 ④
v=
⑤
tanθ=
⑥
联立①②③④⑤⑥式得v=2
⑦
θ=45° ⑧
（2）设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ
为等腰直角三角形，得R1=2
d ⑨
由牛顿第二定律得qvB0=m
⑩
联立⑦⑨⑩式得B0=
（11）
（3）设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析（粒子运动的轨迹如图，O2、O'2是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O'2，由几何关系知，O2FGO'2和O2QHO'2均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOG为等腰直角三角形）可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得2R2=2
d （12）
粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得FG=HQ=2R2 （13）
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有t=
（14）
联立⑦（12）（13）（14）得
t=(2+π)
答：（1）粒子过Q点时速度的大小为v=2
．
（2）B0的大小为B0=
．
（3）该粒子相邻两次经过Q点所用的时间t=(2+π)
．
由运动学公式得d=
| 1 |
| 2 |
| t | 2 0 |
2d=v0t0 ③
vy=at0 ④
v=
|
tanθ=
| vy |
| v0 |
联立①②③④⑤⑥式得v=2
|
θ=45° ⑧
（2）设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ
为等腰直角三角形，得R1=2| 2 |
由牛顿第二定律得qvB0=m
| v2 |
| R1 |
联立⑦⑨⑩式得B0=
|
（3）设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析（粒子运动的轨迹如图，O2、O'2是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O'2，由几何关系知，O2FGO'2和O2QHO'2均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOG为等腰直角三角形）可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得2R2=2
| 2 |
粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得FG=HQ=2R2 （13）设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有t=
| FG+HQ+2πR2 |
| v |
联立⑦（12）（13）（14）得
t=(2+π)
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答：（1）粒子过Q点时速度的大小为v=2
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（2）B0的大小为B0=
|
（3）该粒子相邻两次经过Q点所用的时间t=(2+π)
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点评：本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键滑出粒子的运动轨迹图，结合在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运用运动学公式进行求解．
练习册系列答案
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（2011?武汉模拟）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场．在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当速度方向沿x轴正方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力．
