Question

15．如图所示，一边长为L，质量为m，电阻为R的正方形金属框放置在倾角为θ的光滑的绝缘斜面上，磁场的方向垂直金属矿平面，磁感应强度的大小只随y的方向变化，规律为B=B₀+ky，k为恒定的大于零的常数．在斜面内以平行于x轴的水平初速度O点抛出金属矿，运动一段时间后金属矿的速度恒定为v，假设运动过程中金属框总有两条边与y轴平行，且金属框不转动，当金属框沿y轴方向运动距离为h时速度达到最大．不计空气阻力，斜面和磁场区域足够大，重力加速度为g
（1）试求水平速度v₀的大小；
（2）求金属矿从开始运动到达恒定速度v后，沿y轴方向位移为s时，金属框中产生的内能多大．

Answer 1

分析 在x方向磁场没有不会，所以沿x轴方向，两边产生感应电动势合为0，安培力为0．
在y方向，上产生感应电动之和为E=（B₀+k（y+L））Lv_y-（B₀+ky）Lv_y=kL²v_y，然后根据欧姆定律和力与平衡列式求解V_y，然后根据速度的分解求解初速度v₀；
根据能量守恒定律求产生热量Q．

解答 解：（1）在x方向磁场没有不会，所以沿x轴方向，两边产生感应电动势合为0，安培力为0，故x方向线框做匀速直线运动；在y方向，上产生感应电动之和为E=（B₀+k（y+L））Lv_y-（B₀+ky）Lv_y=kL²v_y，稳定时安培力等于重力的分力
即BIL=mgsinθ=B•$\frac{k{L}^{2}{v}_{y}}{R}$L
解得v_y=$\frac{mgRsinθ}{k{BL}^{3}}$
根据运动的合成与分解知v₀=$\sqrt{{v}^{2}-{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}^{2}-\frac{{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{k}^{2}{B}^{2}{L}^{6}}}$
（2）根据能量守恒定律知产生热量Q=mgssinθ$-\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$=mgssinθ-$\frac{1}{2}×$m×$（\frac{mgRsinθ}{kB{L}^{3}}）^{2}$=mgssinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{k}^{2}{B}^{2}{L}^{6}}$
答：（1）水平速度v₀的大小为$\sqrt{{v}^{2}-\frac{{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{k}^{2}{B}^{2}{L}^{6}}}$；
（2）金属矿从开始运动到达恒定速度v后，沿y轴方向位移为s时，金属框中产生的内能为mgssinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{k}^{2}{B}^{2}{L}^{6}}$．

点评 此题考查电磁感应和类平抛运动的综合应用，同时涉及到能量，要注意利用能量守恒求解会比较简单．