Question

13．如图所示，天车质量为M=40kg，可沿着光滑的水平轨道运动．天车上拴着一根长为 L=40m的不可伸长的轻绳，轻绳另一端拴着一个质量为m=20kg的小球，现控制小球使轻绳偏离竖直方向60°角处于自然伸直状态，球与天车均静止．给天车施加一水平向右的恒力F的同时放开小球，运动中两者恰好能保持相对静止．当天车运动了d=5$\sqrt{3}$m时撤去F，同时锁定天车．不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s²．请通过计算回答下列问题：
（1）求恒力F的冲量I
（2）求小球运动到最右端时距最低点的高度h；
（3）若小球刚摆动到最右端时立即解除对天车的锁定，求在解除锁定后小球第一次通过最低点时轻绳对小球的拉力F_T．

Answer 1

分析 （1）隔离对球分析，根据牛顿第二定律求出加速度，结合速度位移公式求出小球和天车的速度，根据动量定理求出恒力F的冲量．
（2）天车锁定后小球先做平抛运动，当绳绷直后做圆周运动．求出平抛运动的时间以及下降的高度，由于绳不可伸长，故绳绷直后小球只剩下水平方向的速度，即小球在最低点开始向右摆动的速度，根据机械能守恒定律求出小球运动到最右端时距最低点的高度．
（3）根据水平方向上动量守恒和机械能守恒求出最低点的速度，结合牛顿第二定律求出绳子的拉力．

解答 解：（1）设车与小球共同运动的加速度为a，以球为研究对象，受力分析如图，
由牛顿第二定律，有：F_合=ma，而F_合=mgtanθ
解得：a=$10\sqrt{3}$m/s²，
由运动学知识可知，刚撤去拉力时小球与天车的速度为：$v=\sqrt{2ad}$，代入数据得：v=$10\sqrt{3}m/s$，
对小球与天车水平方向由动量定理，
有：I=（M+m）v 即I=600$\sqrt{3}$Ns．
（2）天车锁定后小球先做平抛运动，当绳绷直后做圆周运动．先分析绳子绷直时小球的位置，
设小球运动到悬点正下方的时间为t，由水平方向匀速运动可得：t=$\frac{Lsinθ}{v}$
代入数据得：t=2s 
该段时间小球下降的高度为：h₁=$\frac{1}{2}$gt²
代入数据得：h₁=20m即小球在悬点正下方（最低点）处绳子绷直．
由于绳不可伸长，故绳绷直后小球只剩下水平方向的速度，即小球在最低点开始向右摆动的速度为：$v=10\sqrt{3}$m/s．
由机械能守恒定律，有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgh$，
代入数据得：h=15m．
（3）设球摆到最低点时球和天车的速度大小分别为v₁和v₂，规定向右为正方向，由水平方向动量守恒和机械能守恒，
有：mv₁=Mv₂ 
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂² 
在最低点对小球由牛顿第二定律，有：F_T-mg=m$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{L}$．
代入数据解得F_T=425N．
答：（1）恒力F的冲量I为600$\sqrt{3}$Ns．
（2）小球运动到最右端时距最低点的高度h为15m；
（3）解除锁定后小球第一次通过最低点时轻绳对小球的拉力为425N．

点评 本题考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律、动量守恒定律、动量定理的综合运用，知道天车锁定时，小球先做平抛运动，然后做圆周运动，本题难度较大，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．