题目内容
【题目】如图所示，在某竖直平面内固定一由斜面AB、水平面BC和半径R＝20cm的半圆CD组成的光滑轨道，水平轨道足够长，半圆CD圆心为O，与水平面相切于C点，直径CD垂直于BC．可视为质点的甲、乙两球质量均为m＝l.0×10－2kg，现将小球甲从斜面上距BC高为
的A点由静止释放，到达B点后只保留水平分速度沿水平面运动，与静止在C点小球乙发生弹性碰撞，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）若两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，则甲、乙碰后瞬间，乙对半圆轨道最低点C处的压力；
（2）若两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求斜面与水平面的夹角；
（3）若将甲仍从A点释放，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到C点的最短距离．
【答案】（1）0.6N（2） 30°（3）0.4m
【解析】（1）乙恰好能通过D点，其做圆周运动的向心力完全由重力提供，设乙到达D点时的速度为vD，则mg＝m
，解得： 
乙球从C到D，根据机械能守恒，得： 
．解得： 
在碰后的C点：F＇一mg＝m
．解得：F＇＝6mg
根据牛顿第三定律得F＝F＇＝6mg＝0.6N，方向竖直向下
（2）设碰撞前后甲的速度分别为v、v甲，根据动量守恒定律和能守恒定律有：
mv＝mv甲＋mvC
联立以上两式解得v甲＝0，v＝vC＝
甲从A点下落到斜面底端，由机械能守恒定律得mg
R＝
解得： 
在B点对速度分解可得cos＝
，解得＝30°
（3）因为甲在斜面上释放时的高度不变，根据动能定理以及运动的分解可得甲运动到水平面上的速度仍为
，设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为VM、Vm，根据动量守恒和机械能守恒定律有：
Mv＝MvM＋mvm
联立解得： 
因为M≥m，可得v0≤vm＜2v0
设乙球过D点的速度为vD＇，由动能定理得
联立解得： 
乙在水平轨道上的落点到C点的距离为x＇，则有
，x＇＝vD＇t
联立解得乙在轨道上的首次落点到C点的距离范围：2R≤x＇＜8R
乙在轨道上的首次落点到C点的距离范围0.4m≤x＇＜1.6m
乙在轨道上的首次落点到C点的最短距离为0.4m
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