Question

5．如图甲所示，在倾角θ=30⁰的光滑绝缘斜面上，水平虚线ab、cd、ef、gh为等间距分布，其间距l=0.5m，在ab与cd间、ef与gh间均存在有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化图象如图乙所示．现有一长方形金属线框PQMN用绝缘绳系于斜面上，PQ与虚线平行且处在ab、cd的中间． 已知PQ=MN=0.4m，PN=QM=1.0m，金属线框的电阻R=0.04Ω．当t=$\frac{1}{16}$s时刻绳子拉力恰好为零．若此时将绳子剪断，线框从静止开始向下运动，当边MN刚进入ef和gh之间的磁场区域时，线框恰好做匀速运动．（空气阻力不计，g取10m/s²）求：

（1）线框的质量m；
（2）当边MN刚进入ef时的速度大小v₂？
（3）PQ边到达cd开始计时到当边MN刚进入ef过程中是什么运动性质（匀加速还是变加速）？PQ边到达cd时速度的大小v₁；
（4）线框从开始运动到通过两个磁场区域的过程中产生的电热Q．

Answer 1

分析 （1）在0-$\frac{1}{16}$s内，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出感应电流．根据当t=$\frac{1}{16}$s时刻绳子拉力恰好为零，线框受力平衡列式，可求得线框的质量m；
（2）当边MN刚进入ef和gh之间的磁场区域时，线框恰好做匀速运动，受力平衡，由安培力公式和平衡条件结合求解v₂；
（3）从PQ到达cd至MN到达ef，穿过线框的磁通量不变，不产生感应电流，不受安培力，线框以加速度 a=gsin30°作匀加速直线运动．由运动学公式求解PQ边到达cd时速度的大小v₁．
（4）线框从开始运动到通过两个磁场区域的过程，运用能量守恒列式求解热量Q．

解答 解：（1）在0-$\frac{1}{16}$s内，$\frac{△B}{△t}$=8T/s
 s=$\frac{1}{2}l\overline{PQ}$=$\frac{1}{2}×0.5×0.4$=0.1m²；
根据法拉第电磁感应定律得：
  E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$s=0.8V
  i=$\frac{E}{R}$=20A
线框静止时：mgsin30°=BIL
解得：m=0.8kg
（2）MN到达ef时匀速运动，则有：mgsin30°=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{2}}{R}$
解得：v₂=4m/s
（3）从PQ到达cd至MN到达ef，穿过线框的磁通量不变，不产生感应电流，不受安培力，所以线框以加速度 a=gsin30°作匀加速直线运动．
由${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=2a•3l，其中 l=0.5m
解得：v₁=1m/s
（3）由能量守恒得：
mg$•\frac{9l}{2}$sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+Q
解得：Q=2.6J
答：（1）线框的质量m是0.8kg；
（2）当边MN刚进入ef时的速度大小v₂是4m/s．
（3）PQ边到达cd开始计时到当边MN刚进入ef过程中是匀加速运动，PQ边到达cd时速度的大小v₁是1m/s．
（4）线框从开始运动到通过两个磁场区域的过程中产生的电热Q是2.6J．

点评 解决这类问题的关键是正确分析电路中的电流以及安培力的变化情况，判断线框的受力情况，结合电磁感应和力学规律解答．