Question

7．如今我国的“探月工程”计划已经进入第三期工程，2013年12月“嫦娥三号”成功落月，落月之前“嫦娥三号”在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动．
（1）若已知月球半径为R_月，月球表面的重力加速度为g_月，则“嫦娥三号”环绕月球运行的线速度是多少？
（2）若已知R_月=$\frac{1}{4}$R_地，g_月=$\frac{1}{6}$g_地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？

Answer 1

分析 嫦娥三号卫星绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，应用万有引力定律与牛顿第二定律可以求出其线速度，求出线速度后再分析答题．

解答 解：万有引力提供嫦娥三号卫星做圆周运动的向心力；
（1）由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（{R}_{月}+{h）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{月}+h}$   ①
在月球表面的物体受到的重力等于月球对它的万有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}_{月}^{2}}$=m′g_月   ②
由①②解得：v=$\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}^{2}}{{R}_{月}+h}}$；
（2）由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
万有引力等于重力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得：v=$\sqrt{gR}$，
近地卫星线速度之比：$\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}}{{g}_{地}{R}_{地}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$；
答：（1）若已知月球半径为R_月，月球表面的重力加速度为g_月，则“嫦娥三号”环绕月球运行的线速度是$\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}^{2}}{{R}_{月}+h}}$；
（2）若已知R_月=$\frac{1}{4}$R_地，g_月=$\frac{1}{6}$g_地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的$\frac{\sqrt{6}}{12}$倍．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，应用万有引力定律公式、牛顿第二定律即可解题，解题时注意黄金代换：GM=gR²的应用．