Question

如图所示，两根相距为d的足够长的、光滑的平行金属导轨位于水平的xoy平面内，左端接有阻值为R的电阻，其他部分的电阻均可忽略不计。在x>0的一侧存在方向竖直向下的磁场，磁感应强度大小按B=kx变化（式中k＞0，且为常数）。质量为m的金属杆与金属导轨垂直架在导轨上，两者接触良好。在x＜0的某位置，金属杆受到一瞬时冲量，获得速度大小为v₀，方向沿x轴正方向。求：

（1）在金属杆运动过程中，电阻R上产生的总热量；

（2）若从金属杆进入磁场的时刻开始计时，始终有一个方向向左的变力F作用于金属杆上，使金属杆的加速度大小恒为a，方向一直沿x轴负方向。求：

a．闭合回路中感应电流持续的时间；

b．金属杆在磁场中运动过程中，外力F与时间t关系的表达式？

Answer 1

解析：

（1）金属杆向右运动切割磁感线产生感应电流，同时金属杆受安培力，做减速运动，直到停下。在此过程中，金属杆的动能转化为电能再转化成电阻R的焦耳热。根据能量转化与守恒，电阻R上产生的热                     （4分）

（2）a．金属杆在磁场中做切割磁感线的运动，产生感应电流，金属杆受安培力和变力F的作用做匀变速直线运动，加速度为a方向向左（沿-x方向）。它先向右运动，速度由v₀减到0；然后向左运动，速度再由0增大到v₀，金属杆回到x=0处，之后金属杆离开磁场。金属杆向右或向左运动时，都切割磁感线，回路中都有感应电流。

感应电流持续的时间为。                                  （4分）

  b．设金属杆的速度和它的坐标分别为v和x，由运动学公式有

         

         

  金属杆切割磁感线产生感应电动势

                                (3分)

由于在x<O区域不存在磁场，故只有在时间t < T=范围内，上述关系式才成立。由欧姆定律可得回路中的电流为

                             (3分)

金属杆所受的安培力为

          （向左为正方向）        (2分)

金属杆受安培力和变力F做匀变速运动，以向左方向为正方向，由牛顿第二定律有

              

可得                      (2分)