Question

4．某小船在渡河时，船速和水速均恒定，若采用时间最短的方案渡河，渡河时间为8秒，若采用最短位移渡河时，渡河时间为10秒，已知船速为10m/s，下列说法正确的是（　　）

• A． 河宽为80m
• B． 水速可能是8m/s
• C． 水速可能为$\frac{50}{3}$m/s
• D． 水速可能为12m/s

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，最短的时间主要是希望合速度在垂直河岸方向上的分量最大，这个分量一般刚好是船在静水中的速度，即船当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短；如果船在静水中的速度小于河水的流速，则合速度不可能垂直河岸，那么，小船不可能垂直河岸正达对岸．

解答 解：A、当船头与河岸垂直时，时间最短${t}_{min}^{\;}=\frac{d}{{v}_{船}^{\;}}$
河宽$d={v}_{船}^{\;}{t}_{min}^{\;}=10×8=80m$，故A正确；
B、当${v}_{船}^{\;}＞{v}_{水}^{\;}$时，合速度与河岸垂直，位移最小，最小位移等于河宽

${v}_{合}^{\;}=\frac{d}{t}=\frac{80}{10}=8m/s$
根据几何关系：${v}_{水}^{\;}=\sqrt{{v}_{船}^{2}-{v}_{合}^{2}}=\sqrt{1{0}_{\;}^{2}-{8}_{\;}^{2}}=6，m/s$
CD、当${v}_{船}^{\;}＜{v}_{水}^{\;}$时，作出位移最小时的矢量图

最小位移${s}_{min}^{\;}={v}_{合}^{\;}t=\sqrt{{v}_{水}^{2}-{v}_{船}^{2}}•t$=$10\sqrt{{v}_{水}^{2}-1{0}_{\;}^{2}}$
根据几何关系：$\frac{{v}_{船}^{\;}}{{v}_{水}^{\;}}=\frac{d}{10\sqrt{{v}_{水}^{2}-1{0}_{\;}^{2}}}$
代入数据：$\frac{10}{{v}_{水}^{\;}}=\frac{80}{\sqrt{8{0}_{\;}^{2}+（10{v}_{水}^{\;}）_{\;}^{2}}}$
解得：${v}_{水}^{\;}=\frac{50}{3}m/s$，故C正确，D错误；
故选：AC

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．