Question

15．如图所示，光滑半圆轨道竖直放置，半径为R，摩擦因数μ=0.3的粗糙水平轨道与圆轨道相切，在水平轨道上有一个质量为m=1kg的木块，受到F=7N的水平力作用，经过L=2m的距离到达半圆轨道最低点．
（1）当R=0.5m时，求木块对竖直半圆轨道最低点的压力？
（2）如果木块能从半圆轨道最高点抛出，当半圆轨道半径R多大时，平抛的水平距离最大？最大值是多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出木块到达半圆轨道最低点时的速度．木块在半圆轨道最低点，由重力和轨道支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出支持力，再得到压力．
（2）从轨道最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得到最高点速度与半径R的关系．再由平抛运动的规律得到平抛水平距离与R的关系，运用数学知识求解．

解答 解：（1）木块在水平轨道上运动的过程，由动能定理得：
   （F-μmg）L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₁=4m/s
在最低点，由牛顿第二定律得
    F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 F_N=42N
由牛顿第三定律得知，木块对竖直半圆轨道最低点的压力 F_N′=F_N=42N
（2）设木块到达最高点时的速度为v₂，木块从半圆轨道最低点到最高点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
    $\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
所以有 v₂=$\sqrt{16-40R}$
由平抛运动的规律有
   2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v₂t 
联立并整理得 x=4$\sqrt{\frac{-10{R}^{2}+4R}{10}}$=4$\sqrt{-（R-0.2）^{2}+0.04}$
所以当 R=0.2m时水平距离x最大，最大值为 x_max=0.8m
答：
（1）当R=0.5m时，木块对竖直半圆轨道最低点的压力是42N．
（2）当半圆轨道半径R为0.2m时，平抛的水平距离最大，最大值是0.8m．

点评 解决本题的关键是根据机械能守恒定律和平抛运动的规律得到水平距离的表达式，再由数学知识求极值，是常用的函数法，要学会运用．