Question

如图所示，水平放置长为L的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图所示的方波电压，电压的正向值为U₀，反向电压值为U₀/2，且每隔T/2换向一次，现有质量为m、带正电且电量为q的粒子束从A、B的中点O沿平行于金属板OO'方向源源不断的射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T．不计重力的影响，则：

（1）在靶MN上距其中心0′点有粒子击中的范围是多少？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U₀的数值应满足的条件是什么？
（3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的动能是多少？

Answer 1

分析：（1）带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，粒子在竖直方向先向下做匀加速运动，后做匀减速运动．根据牛顿第二定律求出加速度，由位移公式分别求出前

T

2

时间内和后

T

2

时间内，粒子在竖直方向的位移，再粒子打在距O′点正下方的最大位移．当粒子在

T

2

，

3

2

T，…（2n+1）

T

2

时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．粒子在竖直方向先向上做匀加速运动，后做匀减速运动．同理求出粒子打在距O′点正上方的最大位移．
（2）要使粒子能全部打在靶上，粒子在竖直方向距O′点的最大位移小于

d

2

．代入（1）问的结论，求解电压U₀的数值应满足的条件．
（3）带电粒子在水平方向做匀速直线运动，由运动时间为T，求出粒子的初速度．根据动量定理研究竖直方向的分速度，再所有粒子中最大的动能．

解答：解：带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．粒子打在靶MN上的范围，就是粒子在竖直方向所能到达的范围．
（1）当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，在前

T

2

时间内，粒子在竖直向下的位移为：s1=

1

2

a1(

T

2

)2=

qU0T2

8md

在后

T

2

时间内，粒子在竖直向下的位移为：s2=v

T

2

-

1

2

a2(

T

2

)2
将v=a1

T

2

=

qU0

2md

，代入上式得：s2=

3qU0T2

16md

故粒子打在距O′点正下方的最大位移为：s=s1+s2=

5qU0T2

16md

当粒子在

T

2

，

3

2

T，…（2n+1）

T

2

时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．
在前

T

2

时间内，粒子在竖直向上的位移为：
   

s

/ 1

=

1

2

a

/ 1

(T/2)2=

1

2

qU0

md

(

T

2

)2=

qU0T2

16md

在后T/2时间内，粒子在竖直向上的位移为：
   

s

/ 2

=v/

T

2

-

1

2

a

/ 2

(

T

2

)2
其中，v/=

a

/ 1

T

2

=

qU0T

4md

，

a

/ 2

=

qU0

md

，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′点正上方的最大位移为：s/=

s

/ 1

+

s

/ 2

=

qU0T2

16md

．
（2）要使粒子能全部打在靶上，须有：

5qU0T2

16md

＜

d

2

，即U0＜

8md2

5qT2

．
（3）因为粒子在平行于极板方向做匀速直线运动，所以平行于极板的速度：v0=

L

T

设垂直于极板的速度度为v_y，则据动量定理有：mvy=

qU0

d

T

2

-

qU0

2d

T

2

=

1

4

qU0

d

T．
则打在靶上粒子的速度为v=

v 2 0 + v 2 y

=

L2 T2 + q2 U 2 0 T2 16m2d2

所以粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的动能是E_k=

1

2

mv2=

1

2

m(

L2

T2

+

q2 U 2 0 T2

16m2d2

)
答：（1）粒子打在距O′点正上方的最大位移为

qU0T2

16md

；
    （2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U₀的数值应满足的条件是即U0＜

8md2

5qT2

；
    （3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的动能是

1

2

m(

L2

T2

+

q2 U 2 0 T2

16m2d2

)．

点评：本题是粒子在周期性变化的电场中运动，分析带电粒子的运动情况是关键．