Question

光滑水平面上放着质量为m_A=1kg的物块A和质量m_B=2kg的物块B，A和B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧但与弹簧不拴接，用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能E_P=49J．在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示．放手后B向右运动，细绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上固定在竖直平面内，底端与水平面光滑连接，半径R=0.5m的半圆形光滑轨道，已知B恰好能通过竖直轨道的最高点C，取g=10m/s²，求：
（1）绳拉断前瞬间B速度v₀的大小；
（2）绳拉断后瞬间B速度v_B的大小；
（3）假设A在向右运动过程中没有碰到B，那么A能否到达轨道上与圆心等高的P点处？若能，求出A在P点处对轨道的压力；若不能，求出A能到达的最大高度．

Answer 1

分析：（1）绳断之间，弹簧已与A、B脱离，根据弹性势能全部转化为B的动能列出等式求解，
（2）在最高点C处，B所受重力恰好提供其做圆周运动的向心力，从绳断至到达最高点C，B物体机械能守恒列出等式求解．
（3）绳拉断的过程A和B组成的系统动量守恒列出等式，从绳断到A至P的过程中A的机械能守恒列出等式，在P点处，轨道对A的支持力提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求解．

解答：解：（1）绳断之间，弹簧已与A、B脱离，其弹性势能全部转化为B的动能
E_P=

1

2

m

v

2 0

　
得v₀=7 m/s
（2）在最高点C处，B所受重力恰好提供其做圆周运动的向心力
m_Bg=m_B

v 2 C

R

　
从绳断至到达最高点C，B物体机械能守恒

1

2

m_B

v

2 B

=2m_BgR+

1

2

m_B

v

2 C

　
得v_B=5m/s　
（3）绳拉断的过程A和B组成的系统动量守恒
m_Bv₀=m_Bv_B+m_Av_A　
设A到达P点时的速度为v_AP，从绳断到A至P的过程中A的机械能守恒

1

2

m_A

v

2 A

=m_AgR+

1

2

m_A

v

2 AP

得v_AP=

6

m/s＞0，A能到达P点，在P点处，轨道对A的支持力提供其做圆周运动的向心力
F_N=m_A

v 2 AP

R

=12N　
由牛顿第三定律可知，A对轨道的压力F_N=F_N′=12N，方向水平向右
答：（1）绳拉断前瞬间B速度v₀的大小是7 m/s；
（2）绳拉断后瞬间B速度v_B的大小是5m/s；
（3）A能到达P点，出A在P点处对轨道的压力是12N，方向水平向右．

点评：该题考查了多个知识点．我们首先要清楚物体的运动过程，要从题目中已知条件出发去求解问题．
其中应用动能定理时必须清楚研究过程和过程中各力做的功．应用动量定理和动量守恒定律时要规定正方向，要注意矢量的问题．