如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图.其下半部AB是一长为2R的竖直细管.上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管.管口沿水平方向.AB管内有一原长为R.下端固定的轻质弹簧．投饵时.每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定.在弹簧上段放置一粒鱼饵.解除锁定.弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时.对管壁的作用� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g．求：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p；
（3）已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在$\frac{2}{3}$m到m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

分析（1）鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，有牛顿第二定律列出向心力的方程，速度v₁可求．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）分别求出质量是在$\frac{2}{3}$m到m的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离，转轴转过90°时，鱼饵在水平面形成两个$\frac{1}{4}$圆面积，中间夹的环形面积即为所求．

解答解：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则
    mg=$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 v₁=$\sqrt{gR}$
（2）弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有
    E_p=mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
由上解得 E_p=3mgR
（3）不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO’的水平距离为x₁，由平抛规律有
4.5R=$\frac{1}{2}$gt²
x₁=v₁t+R
联立解得 x₁=4R
当鱼饵的质量为$\frac{2}{3}$m时，设其到达管口C时速度大小为v₂，由机械能守恒定律有
    E_p=$\frac{2}{3}$mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}m）{v}_{2}^{2}$
解得：v₂=2$\sqrt{gR}$
质量为$\frac{2}{3}$m的鱼饵落到水面时上时，设离OO′的水平距离为x₂
则 x₁=v₂t+R
解得：x₂=7R
鱼饵能够落到水面的最大面积S，S=$\frac{1}{4}$（πx₂²-πx₁²）=$\frac{33}{4}$πR²（或8.25πR²）．
答：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁是$\sqrt{gR}$．
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p是3mgR．
（3）持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是8.25πR²．

点评本题要理清鱼饵的运动情况，把握最高点的临界条件：重力等于向心力，要抓住转轴转过90°鱼饵在水平面上形成圆周，结合几何知识研究．

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	A．	氡${\;}_{86}^{222}$Rn发生β衰变时，其质量数不变
	B．	若氡${\;}_{86}^{222}$Rn发生了一次α衰变，则衰变后的新核为${\;}_{84}^{218}$Po
	C．	在α、β、γ三种射线中，γ射线的穿透能力最强
	D．	升高温度，可以使${\;}_{86}^{222}$Rn的半衰期变为1.9天
	E．	若只有4个氡核，则经3.8天一定只剩下2个氡核

	A．	布朗运动是指液体或气体中悬浮微粒的无规则运动
	B．	气体的温度升高，每个气体分子运动的速率都增加
	C．	只要能减弱气体分子热运动的剧烈程度，气体的温度就可以降低
	D．	空调机作为制冷机使用时，将热量从温度较低的室内送到温度较高的室外，所以制冷机的工作不遵守热力学第二定律

	A．	磁场跟电场一样，是一种物质
	B．	磁极或电流在自己周围的空间会产生磁场
	C．	指南针指南说明地球周围有磁场
	D．	磁极对磁极的作用、电流对电流的作用都是通过磁场发生的

	A．	B、D两点的磁感应强度大小相等		B．	A、B两点的磁感应强度大小相等
	C．	C点的磁感应强度的值最大		D．	B点的磁感应强度的值最大

	A．	物体在完全失重的状态下没有惯性
	B．	运动电荷在某点不受洛伦兹力作用，该点的磁感应强度必为零
	C．	静摩擦力的方向不一定与运动方向共线
	D．	电流强度既有大小又有方向，所以是矢量

	A．	P球的动能大于Q球的动能		B．	P球的动能小于Q球的动能
	C．	P球的机械能小于Q球的机械能		D．	P球的机械能大于Q球的机械能

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