Question

甲、乙、丙三个物体用不可伸长的轻线通过轻滑轮连接，甲与地面用轻弹簧连接，如图所示．物体乙与物块丙之间的距离和物体丙到地面的距离相等．已知物体乙与物块丙的质量均为m，物体甲的质量大于m，但是小于2m；弹簧的劲度系数为k．物体在运动过程中不会与滑轮相碰，且不计一切阻力，物体碰地后不反弹．
（1）若将乙与丙间的线剪断，甲下降多大距离时它的速度最大？
（2）若将弹簧剪断后，要保证物块乙在运动过程中不会着地，求这种情形之下甲物体的质量等于多少？

Answer 1

分析：（1）当剪断轻线，甲向下先做加速运动后做减速运动，加速度为零时速度达到最大，根据胡克定律求出开始时弹簧的伸长量和速度最大时压缩量，两者之和等于甲下降的高度；
（2）将弹簧剪断后，系统的机械能守恒．对于甲乙丙三物体组成系统，由机械能守恒求出丙着地时甲乙的速度；若乙恰能着地，此时甲、乙物体速度为零，根据系统的机械能守恒求解甲的质量．

解答：解：（1）设甲物体质量为M，开始时弹簧处于伸长状态，其伸长量x₁
  k x₁=（2m-M）g
得，x₁=

2m-M

k

g       
剪断轻线，甲的加速度为零时，速度达最大
设此时弹簧压缩量x₂
k x₂=（ M-m）g 
得，x₂=

M-m

k

g   
所以，甲速度最大时，下降的距离x=x₁+x₂=

mg

k

（2）设丙距离地面为L，丙刚好落地时，甲、乙的速度为v
对于甲乙丙三物体组成系统，机械能守恒
  2mgL-MgL=

1

2

(M+2m)v2
若乙恰能着地，此时甲、乙物体速度为零
对甲乙两物体组成系统，其机械能守恒
有：MgL-mgL=

1

2

(M+m)v2
由上两式得：M=

2

m
∴当2m＞M＞

2

m时，乙物体将不会着地．
答：（1）若将乙与丙间的线剪断，甲下降

mg

k

距离时它的速度最大；
（2）若将弹簧剪断后，要保证物块乙在运动过程中不会着地，求这种情形之下甲物体的质量应满足：2m＞M＞

2

m．

点评：第1题关键要根据胡克定律研究出甲下降的高度与弹簧形变量的关系．第2题，要分两个过程研究甲的质量．