Question

【题目】一个半径为和，重量为，可绕轴转动的滑轮通过一个固定在墙上可转动的叉子支撑，其中，，如图所示．绳索在滑轮较小半径的轴肩上缠绕了一圈，绳索右端用重力加载，滑轮与墙之间以及滑轮与绳之间的摩擦因数相同，静摩擦因数为，动摩擦因数为．试问：

（1）如果要使重物悬起，左边绳子在的情况下，至少要施加多大力？

（2）如果要使重物缓慢升起，左边绳子在时需用多大为？

（3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最小；其值为多大？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 因此，在滑轮开始转动前，所需的最小拉力为;在滑轮进入滑动之后，最小拉力为

【解析】

(1)首先分析滑轮是绕着轴转动还是处于自锁状态．如果滑轮处于自锁状态，则一个任意大小的外力作用在滑轮上（在绳子不滑动的情况下）都能使滑轮保持平衡．自锁时滑轮不能顺时针转动，下图画出了滑轮的受力分析，根据平衡条件

， ①

， ②

， ③

④

联立式①～④，可得 ⑤

由于

因此，只要当时滑轮不会沿顺时针方向转动．此时，拉力必须由绳索的摩擦方程来计算，即

⑥

（2）同样的，首先判断滑轮是否会由于自锁而逆时针方向转动受到阻止．此时，应将式①～③中前添加负号即可，解得

⑦

⑧

由于

且可见式⑧恒成立.

只要当时滑轮逆时针转动受到阻止．此时，要提起重物必须依靠绳索在滑轮上的滑动

根据绳索的摩擦方程，在绳开始滑动前，拉力为

⑨

绳索滑动后，则为 ⑩

（3）为了提升重物，必有．此时，在任意的角度，根据平衡条件，有

，

，

，．

在滑轮没有转动的情况下，即

联立式及，可得

为了分析方便，令

当角度为时并未超出滑轮的自锁极限，由此有

由此，可解得

在情况下，滑轮可能转动并提起重物，因此需要确定滑轮发生转动时的临界角．此时，式应取等号，并联立式⑩和式求得临界角，即

当时，滑轮转动并提起重物

为了求绳索拉力的最小值，根据式可知

考虑到，当时，取到最大值．于是，有

因此，在滑轮开始转动前，为克服滑轮与墙之间的静摩擦力，所需的最小拉力为

在滑轮进入滑动之后，为克服滑动摩擦力所需的最小拉力为

下面，可以验证，滑轮转动比滑轮自锁时提取重物所需的拉力要小，当滑轮自锁时，提升重物只能依靠绳索在滑轮轴肩上的滑动来实现.

当滑轮自锁时，绳索滑动前，绳索的拉力根据式⑩，有

．

当滑轮自锁时，绳索滑动后，绳索拉力根据式，有

显然，式与式就是所要求的最小拉力