Question

电子感应加速器工作原理如图所示（图1为侧视图、图2为真空室的俯视图）它主要有上、下电磁铁磁极和环形真空室组成．当电磁铁绕组通以交变电流时，产生交变磁场，穿过真空盒所包围的区域内的磁通量也随时间变化，这时真空盒空间内就产生感应涡旋电场．电子将在涡旋电场作用下得到加速．
（1）设被加速的电子被“约束”在半径为r 的圆周上运动，整个圆面区域内的平均磁感应强度为B，求电子所在圆周上的感生电场场强的大小与B的变化率满足什么关系．
（2）给电磁铁通入交变电流，一个周期内电子能被加速几次？
（3）在（1）条件下，为了维持电子在恒定的轨道上加速，电子轨道处的磁场r B 应满足什么关系？

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律，结合磁通量表达式，即可求解；
（2）根据在不同时间内，分析电子受力与运动情况，从而即可求解；
（3）根据运动的合成与分解，由牛顿第二定律，结合洛伦兹力与向心力表达式，即可求解．

解答：解：（1）设被加速的电子被“约束”在半径为r的圆周上运动，在半径为r的圆面上，通过的磁通量为：?=πr2

.

B

，

.

B

是整个圆面区域内的平均磁感应强度，
电子所在圆周上的感生电场场强为E′．根据法拉第电磁感应定律：E=

△?

△t

，得：
E′×2πr=

△ . B

△t

πr2，
感生电场的大小为：E′=

r

2

△ . B

△t

．
（2）给电磁铁通入交变电流，从而产生变化的磁场，变化规律如图2所示（以图1中所标电流产生磁场的方向为正方向），要使电子能被逆时针（从上往下看，以下同）加速，一方面感生电场应是顺时针方向，即在磁场的第一个或第四个

1

4

周期内加速电子；而另一方面电子受到的洛仑兹力应指向圆心，只有磁场的第一或第二个

1

4

周期才满足．所以只有在磁场变化的第一个

1

4

周期内，电子才能在感生电场的作用下不断加速．因此，一个周期内电子只能被加速一次．
（3）设电子在半径为r的轨道上运动时，轨道所在处的磁感应强度为B_r，而在半径为r的圆面区域内的平均磁感应强度为

.

B

，维持电子在恒定的轨道上加速必须满足：
切线方向列牛顿第二定律方程：eE′=ma=m

△v

△t

由E′=

r

2

△ . B

△t

得：e

r

2

△ . B

△t

=m

△v

△t

…（1）
半径方向列牛顿第二定律方程得：evBr=m

v2

r

化简得：eBr=m

v

r

…（2）
将（2）式对时间微分得有e

△Br

△t

=

m

r

△v

△t

…（3）
由（1）（3）得：B_r=

B

2

即电子轨道处的磁感应强度为轨道内部平均磁感应强度的一半．

答：（1）设被加速的电子被“约束”在半径为r 的圆周上运动，整个圆面区域内的平均磁感应强度为B，求电子所在圆周上的感生电场场强的大小与B的变化率满足E′=

r

2

△ . B

△t

的关系；
（2）给电磁铁通入交变电流，一个周期内电子能被加速一次；
（3）在（1）条件下，为了维持电子在恒定的轨道上加速，电子轨道处的磁场r B 应满足B_r=

B

2

关系．

点评：考查属于力电综合题，掌握牛顿第二定律与运动学公式的应用，注意运动的合成与分解，同时掌握洛伦兹力与向心力表达式．关键还是画出电子的运动轨迹．