题目内容
10．
如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的圆形匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E．一粒子源固定在x轴上的A（-L，0）点，沿y轴正方向释放电子，电子经电场偏转后能通过y轴上的C（0，2$\sqrt{3}$L）点，再经过磁场偏转后恰好垂直击中ON，ON与x轴正方向成30°角．已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用，求：（1）电子的释放速度v的大小；
（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ；
（3）圆形磁场的最小半径Rmin．
分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，x方向匀速，y方向匀加速，根据运动学公式列式求解；
（2）先根据运动学公式列式求解出x、y方向的分速度，然后根据几何关系列式求解；也可以根据类似平抛运动速度偏转角的正切是位移偏转角正切的2倍直接求解；
（3）先根据洛伦兹力提供向心力求解出轨迹的半径，然后画出轨迹图，确定磁场的最小半径．
解答 解：（1）粒子在垂直电场方向上做匀速直线运动，在沿电场方向上做匀加速直线运动，
有：$2\sqrt{3}L=vt$，
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}{t}^{2}$，
联立两式解得v=$\frac{2\sqrt{3}L}{\sqrt{\frac{2mL}{eE}}}$．
（2）设电子到达C点的速度大小为vc，方向与y轴正方向的夹角为θ．
根据类平抛运动的规律有：$vt=2\sqrt{3}L$，$\frac{{v}_{x}}{2}t=L$，
tanθ=$\frac{{v}_{x}}{v}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得θ=30°．
${v}_{C}=\frac{v}{cos30°}=\frac{2\sqrt{2EeLm}}{m}$．
（3）粒子的轨迹如图所示，根据几何关系知，∠QO1P=120°，
根据$R=\frac{m{v}_{C}}{qB}$得，R=$\frac{2\sqrt{2EemL}}{Be}$．
根据几何关系知，磁场区域的最小半径Rmin=$Rcos30°=\frac{2\sqrt{2EemL}}{Be}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6meEL}}{eB}$．
答：（1）电子的释放速度v的大小为$\frac{2\sqrt{3}L}{\sqrt{\frac{2mL}{eE}}}$；
（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ为30度；
（3）圆形磁场的最小半径为$\frac{\sqrt{6meEL}}{eB}$．
点评 本题中粒子先在电场中做类似平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，要注意两个轨迹的连接点，然后根据运动学公式和牛顿第二定律以及几何关系列式求解，其中画出轨迹是关键．
名校课堂系列答案
如图所示，质量为m的铁球用轻绳系在墙上并放在光滑的斜面上，绳与竖直墙的夹角为β，斜面与竖直墙间的夹角为θ，试求斜面对球的弹力和绳对球的拉力的大小．
一条船要在最短时间内渡过宽为100m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是（ ）| A． | 船渡河的最短时间25s | |
| B． | 船运动的轨迹是一条直线 | |
| C． | 船在河水中的最大速度是5m/s | |
| D． | 若船以最短时间渡河，则船到达河岸下游40m处 |
如图所示，斜面体M放在水平地面上，木块m放在斜面体M上，系统处于静止状态，某时刻开始沿斜面向上对m施加一与时间t成正比的作用力F=kt，直到木块沿斜面加速向上运动一段时间，在此过程中，斜面体始终处于静止状态，设接触面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法中正确的是（ ）| A． | 从施加力F开始，水平地面受到的摩擦力逐渐增大 | |
| B． | 从施加力F开始，水平地面受到的摩擦力先增大后不变 | |
| C． | 从施加力F开始，水平地面受到M的压力逐渐减小 | |
| D． | 从施加力F开始，水平地面受到M的压力一直不变 |
如图所示，倾角为θ=37°的固定斜面与足够长的水平面平滑对接，一劲度系数k=18N/m的轻质弹簧的上端固定于斜面顶端，另一端固连在一质量m=1kg的光滑小球A，跟A紧靠的物块B（质量也为m）与斜面间的动摩擦因数μ1=0.75，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，与水平面间的动摩擦因数为μ2=0.2，图中施加在B上的力F=18N，方向沿斜面向上，A和B均处于静止状态，且斜面对B恰无摩擦力，当撤除力F后，A和B一起沿斜面下滑到某处时分离，分离后A一直在斜面上运动，B继续沿斜面下滑，已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2，下列说法中正确的是（ ）| A． | A和B分离后A不能回到出发点 | B． | A和B分离时B的速度为5m/s | ||
| C． | B最终停留的位置距斜面末端1m | D． | B最终停留的位置距斜面末端4m |
如图所示，宽度为d的双边界有界磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B．一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力）从MN边界上的A点沿纸面垂直MN以初速度v0进人磁场．已知该带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{2Bd}$．其中A′为PQ上的一点，且AA′与PQ垂直．则下列判断正确的是（ ）| A． | 该带电粒子进入磁场后将向下偏转 | |
| B． | 该带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为2d | |
| C． | 该带电粒子打在PQ上的点与A′点的距离为$\sqrt{3}$d | |
| D． | 该带电粒子在磁场中运动的时间为$\frac{πd}{3{v}_{0}}$ |
如图所示，相距为d的边界水平的匀强磁场，磁感应强度垂直纸面向里、大小为B．质量为m、电阻为R、边长为L的正方形线圈M，将线圈在磁场上方高h处由静止释放，已知cd边刚进入磁场时和cd边刚离开磁场时速度相等，不计空气阻力，则（ ）| A． | 若L=d，则线圈穿过磁场的整个过程用时为$\sqrt{\frac{2}{gh}d}$ | |
| B． | 在线圈穿过磁场的整个过程中，克服安培力做功为mgd | |
| C． | 若L＜d则线圈穿过磁场的整个过程中最小速度可能$\frac{mgR}{{{B^2}{L^2}}}$ | |
| D． | 若L＜d，则线圈穿过磁场的整个过程中最小速度可能$\sqrt{2g（h+L-d）}$ |
如图，已知一斜面倾角是30°，其高度是1m，将一个10kg的物体放在斜面顶端，物体恰好匀速下滑．求：