Question

如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，求：
（1）该简谐运动的平衡位置在何处？
（2）物体对弹簧的最小压力是多少？
（3）要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？

Answer 1

分析：（1）根据物体受到的重力与弹力相等处，即为平衡位置；
（2）木块在最高点时，对弹簧的压力最小．木块在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反，根据牛顿第二定律求出最低点的加速度，从而得知最高点的加速度，根据牛顿第二定律求出木块对弹簧的压力．
（3）欲使木块不脱离弹簧，知最高点弹簧处于原长，物块的加速度为g，知最低点的加速度也为g，方向竖直向上，根据F=-kx，求出振幅的大小与A的关系．

解答：解：（1）回复力为零的位置，即为平衡位置，因此当重力与弹力大小相等，方向相反处．
（2）因为木块在竖直方向上做简谐运动，依题意木块在最低点时对弹簧的压力最大，在最高点对弹簧的压力最小．
在最低点根据牛顿第二定律有F_N-mg=ma，代入数据解得a=0.5 g．
由最高点和最低点相对平衡位置对称，加速度大小等值反向，所以最高点的加速度大小为a′=0.5 g，在最高点根据牛顿第二定律有mg-F_N′=ma′，
故F_N′=mg-ma′=0.5 mg．
答：木块对弹簧压力的最小值为0.5mg．
（2）要使木块不脱离弹簧，设其振幅不能超过A′，此时木块振到最高点恰在弹簧原长处，此时的最大加速度为g，由a=-

k

m

x知，当振幅为A时，在最低点有0.5 g=-

k

m

A；
当振幅为A′时，在最高点有g=-

k

m

A′，由此可得A′=2A．
答：（1）简谐运动的平衡位置在重力和弹力平衡的位置（此时弹簧的压缩量为2A）； 
（2）物体对弹簧的最小压力是0.5mg； 
（3）欲使木块不脱离弹簧，其振幅不能超过2A．

点评：解决本题的关键知道简谐运动的对称性，最高点和最低点加速度大小相等，方向相反．