Question

如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁场宽度为3L，正方形金属框边长为L，每边电阻均为R/4，金属框以速度v匀速直线穿过磁场区域，其平面始终保持与磁感线方向垂直．当金属框dc边到达磁场左边缘时，匀强磁场磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化．
（1）求金属框在进入磁场阶段dc边两端的电势差；
（2）在图丙i-t坐标平面上画出金属框穿过磁场区域的过程中，金属框内感应电流i随时间t的变化图线（取逆时针方向为电流正方向）；
（3）求金属框穿过磁场区域的过程中dc边克服安培力做的功W．

Answer 1

分析：（1）根据切割产生的感应电动势公式求出电动势的大小，结合闭合电路欧姆定律求出感应电流的大小，从而求出dc两端的电势差．
（2）结合切割产生的感应电动势公式以及法拉第电磁感应定律求出每段过程中的感应电动势的大小，从而求出感应电流的大小，通过楞次定律判断出感应电流的方向，从而作出i-t图线．
（3）先求出cd边进入磁场时克服安培力所做的功，再根据安培力的大小求出线框全部进入磁场时克服安培力做功功率的表达式，根据W=

.

P

t求出该过程中克服安培力做功的大小，从而得出整个过程克服安培力做功的大小．

解答：解：（1）金属框进入磁场阶段产生的电动势为：E₁=B₀Lv．
产生逆时针方向的感应电流为：I1=

E1

R

=

B0Lv

R

．
此时金属框上dc边两端的电势差为：
Udc=E1-I1?

R

4

=B0Lv-

B0Lv

R

?

R

4

=

3

4

B0Lv．
（2）金属框在磁场中产生逆时针方向的感应电流为：I2=

S?△B

R?△t

=

B0Lv

2R

．
金属框离开磁场阶段产生的顺时针方向的感应电流为：I3=-

2B0Lv

R

．
金属框内感应电流的i-t图线如图所示．
（3）线圈进入磁场时，cd边克服安培力做的功：
W1=

B02L2v

R

?L=

B02L3v

R

．
线圈在磁场内运动时，cd边克服安培力做功的功率为：
P=Fv=I2LBv=

B0Lv

2R

L(B0+k△t)v，其中k=

△B

△t

=

B0v

2L

．
此过程克服安培力做的功为：
W2=

.

P

t=

3B02L2v2

4R

×

2L

v

=

3B02L3v

2R

．
则有：W=W1+W2=

5B02L3

2R

．
答：（1）金属框在进入磁场阶段dc边两端的电势差为

3

4

B0Lv．
（2）如图所示．
（3）金属框穿过磁场区域的过程中dc边克服安培力做的功W为

5B02L3

2R

．

点评：本题考查了电磁感应与电路、图象和能量的综合，综合性较强，这类题型是高考的热点问题，需加强训练．